caracterización de superficies no compactas en $\mathbb{R^3}$

Question

¿Existe una manera de caracterizar las superficies no compactas con media constante y curvatura gaussiana? Sé que si $K=0=H$ entonces la superficie es un plano. ¿Cómo puedo saber sobre los demás?

Sólo para añadir, para superficies compactas con curvatura positiva constante conozco también el teorema de Liebmann. Pero quiero hacerlo para superficies no compactas.

Cualquier ayuda????

Suponiendo que $K$ y $H$ constante. Si $k_1$ y $k_2$ son de curvatura principal entonces

$k_1=H+\sqrt{H^2-K}$ y $k_2=H-\sqrt{H^2-K}$ Para las superficies compactas sólo tengo $k_1=k_2$ y $k_1>k_2$ no es posible. ¿Qué puedo decir de ellos en este caso?

Answer 1

Es un bonito ejercicio que las únicas superficies con ambos Las curvaturas principales constantes deben ser (trozos de) un plano, una esfera o un cilindro circular recto. (Como calentamiento, demuestra que una superficie con un curvatura principal constante y sin puntos umbilicales debe ser un tubo alrededor de una curva regular).