Riemann Integrable implica Lebesgue Integrable

Question

Podemos decir que una limitada función de $f$ en un intervalo acotado $[a,b]$ es Riemann integrable si

$$\sup \{\int_a^b\phi : \phi \le f, \phi \text{ step function} \} = \inf \{\int_a^b\phi dx : \phi \ge f, \phi \text{ step function} \}$$

De la misma manera, he visto la definición de la integral de Lebesgue como

$$\sup \{\int_a^b\phi : \phi \le f, \phi \text{ simple function} \} = \inf \{\int_a^b\phi : \phi \ge f, \phi \text{ simple function} \}$$

y la integral de Lebesgue $\int_{[a,b]}f$ es igual a la menor Lebesgue la integral de la izquierda y la parte superior de Lebesgue la integral de la derecha.

ASÍ podemos demostrar que si la limitada función es Riemann integrable, entonces también es Lebesgue la integral porque cada paso la función también es una función simple y

$$\inf \{\int_a^b\phi : \phi \le f, \phi \text{ step function} \} \le \inf \{\int_a^b\phi : \phi \ge f, \phi \text{ simple function} \} \\ \le \sup \{\int_a^b\phi : \phi \ge f, \phi \text{ simple function} \} \\ \le \sup \{\int_a^b\phi : \phi \ge f, \phi \text{ step function} \} $$

Sin embargo, en muchos lugares, el teorema queda demostrado por el que muestra si $f$ es Riemann integrable, entonces (1) hay un aumento de la secuencia de $\phi_n$ de funciones simples acotada arriba por $f$ que converge; (2) la secuencia converge en casi todas partes a $f$; y (3) en este caso, $f$ deben ser medibles y Lebesgue integrable.

La segunda prueba de (1), (2) y (3) es bastante complicado, sin embargo, la primera prueba parece tan fácil.

Me estoy perdiendo algo aquí? Es la primera prueba de la omisión de algunos paso importante?

Answer 1

Su idea es buena pero la cadena correcta de desigualdades es la siguiente \begin{align} &\sup \left\{\int_a^b\phi : \phi \le f,\quad \phi \text{ step function} \right\} \\ =\,&\sup \left\{\int_{[a,b]}\phi : \phi \le f,\quad \phi \text{ step function} \right\} \\ \le\, &\sup \left\{\int_{[a,b]}\phi : \phi \le f,\quad \phi \text{ simple function} \right\} \\ \le\, &\inf \;\left\{\int_{[a,b]}\phi : \phi \ge f,\quad \phi \text{ simple function} \right\} \\ \le\, &\inf \left\{\int_{[a,b]}\phi : \phi \ge f,\quad \phi \text{ step function } \right\} \\ =\, &\inf \left\{\int_a^b\phi : \phi \ge f,\quad \phi \text{ step function } \right\}\end {align}

Answer 2

La prueba es válida para una limitada función definida en el cerrado, delimitado intervalo de $[a,b]$, a pesar de la aparente simplicidad. También se basa en el hecho de que la Riemann y Lebesgue integrales son los mismos para el paso de las funciones, como se ha mencionado por Tony Piccolo.

La otra prueba que mencionar es también válida, pero lo que lleva a una más de la rotonda de la ruta porque las cadenas de una serie de resultados, cada uno de los que no es del todo trivial para probar.

Un delimitada, medibles función definida en un conjunto finito de medir es Lebesgue integrable.

Si una secuencia de funciones medibles converge en casi todas partes a $f$, entonces la función de límite de $f$ es medible.

Si $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$, entonces existe un secuencia de simple (medibles) funciones de la convergencia en casi todas partes a $f$.

Añadiendo aún más la complejidad, la prueba de la tercera declaración, que sé que también utiliza el hecho de que el conjunto de discontinuidades de una Riemann integrable función debe ser de medida cero. Comienza por la construcción de una partición de $[a,b]$ con diádica intervalos:

$$I_{n,k} = \begin{cases}[a + (b-a)\frac{k-1}{2^n}, a + (b-a)\frac{k}{2^n})\,\,\, k = 1 , \ldots, 2^n -1 \\ [a + (b-a)\frac{2^n-1}{2^n}, b] \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k = n\end{cases} $$

Con $m_k = \inf_{I_{n,k}}f(x)$, podemos construir la secuencia de funciones simples

$$\phi_n(x) = \sum_{k=1}^{2^n} m_k \, \chi_{I_{n,k}}(x)$$

La sucesión es creciente y, desde $f$ es acotado, convergente a alguna función $\phi$ tal que $\phi_n(x) \uparrow \phi(x) \leqslant f(x).$ Si $x \in I_{n,k}$, entonces la oscilación de la $f$ durante ese intervalo satisface

$$\sup_{u,v \in I_{n,k}}|f(u) - f(v)| \geqslant f(x) - \phi_n(x) \geqslant f(x) - \phi(x).$$

Por lo tanto, $f(x) \neq \phi(x)$ sólo en los puntos donde $f$ no es continuo, que debe pertenecer a un conjunto de medida cero si $f$ es Riemann integrable. Por lo tanto, $f$ es casi en todas partes el límite de una sucesión de funciones simples y es medible.

Yo estaría de acuerdo en que el segundo enfoque es "bastante complicado". Sin embargo, creo que no es infrecuente encontrar teoremas con una variedad de pruebas que varían en complejidad.