Mostrar que cualquier conjunto en un espacio métrico se puede escribir como la intersección de conjuntos abiertos

Question

Muestre que cualquier conjunto contenido en el espacio métrico$(X, d)$ puede escribirse como la intersección de conjuntos abiertos.

Definiciones: Un conjunto$A \subseteq X$ está abierto si$\forall x \in A$,$\exists \varepsilon>0$ tal que$B_{\varepsilon}(x) \subseteq A$. Un conjunto$C \subseteq X$ se cierra si y sólo si$X \setminus C$ está abierto.

También sé que la intersección de una colección finita de conjuntos abiertos está abierta y que cualquier bola abierta contenida en$X$ está abierta. ¿Cómo puedo probar esta pregunta?

Answer 1

Singletons$\{a\}$ son conjuntos cerrados, por lo que sus complementos están abiertos. Para cualquier conjunto$A \subseteq X$ considere lo siguiente:$$A=\bigcap_{a \in A^{c}}\{a\}^c.$ $ Observe que cada$\{a\}^c$ está abierto y una vez que verifique la igualdad establecida (que no es tan difícil) tiene$A$ as La intersección de conjuntos abiertos.