Sobre el nada escaso y relativo conjunto cerrado.

Question

Definición: Un subconjunto $A$ de un espacio de $X$. A continuación, $A$ es escaso en $X$ si $A=\displaystyle\bigcup_{n\in N}A_n,$ donde ${\rm int}(\overline{A_n})=\emptyset$, para todos los $n\in N.$ $A$ lugar donde es escaso en $X$, si todos los no-vacío relativamente abierto subconjunto de $A$ no es escaso en $X$.

Problema: Supongamos que $X$ es un espacio topológico y $A\subseteq X$ nada escasos. Por lo tanto $\overline{A}$ es regular cerrado, es decir, ${\rm int}(\overline{A})$ es denso en $\overline{A}$.

Para demostrar esto, trato de ver a ${\rm int}\left(\overline{A}\right)$ cruza todas no vacío relativamente abierto subconjunto de $\overline{A}.$ En efecto, supongamos que se $V$ abierto de $X$ tal que $V\cap\overline{A}\neq\emptyset.$ Desde $A$ es nada escasos, a continuación, $V\cap A$ no es escaso en particular, ${\rm int}\left(\overline{V\cap A}\right)\neq\emptyset.$ Pero no puedo terminar la prueba. ¿Cómo llego a la conclusión de que ${\rm int}\left(\overline{A}\right)\cap V\cap\overline{A}\neq\emptyset$?

Answer 1

$\newcommand{\o}[1]{~\overline{#1}~}\newcommand{\i}{\operatorname{int}}$ Primero, considere$\i(\o A)\subset \o A$. Por lo tanto $$ \ i (\ o A) \ cap V \ cap \ o A = \ i (\ o A) \ cap V. $$ Dado que$A\supseteq A\cap V$ %. Además tenemos$\o A\supseteq\o{A\cap V}$ y por lo tanto $$ \ i (\ o A) \ cap V \ supseteq \ i (\ o {A \ cap V}) \ cap (A \ cap V). $$ Elija$\i(\o A)\supseteq\i (\o{A\cap V})$ y obtendremos una vecindad abierta$V\supseteq A\cap V$ de$x\in\i(\o{A\cap V})\neq\emptyset$ en$U$. Considere eso $x$. $\o{A\cap V}$Implica que$U\subset \i(\o{A\cap V})$ y por lo tanto $$ \ i (\ o {A \ cap V}) \ cap (A \ cap V) \ supseteq U \ \conjunto vacio. $$

Answer 2

Por contradicción: Suponga$p\in \overline A$ \$(\overline {Int(\overline A)}).$ Entonces$U=X$ Está abierto y$(\overline {Int(\overline A)}).$ está relativamente abierto en$U$ Y$U\cap A$ no está vacío (Porque$A.$ es un nbhd de$U\cap A$ y$U$). Así que$p$ no es escaso, así que$p\in \overline A$$U\cap A$$$ Int(\overline {U\cap A})\ne \phi.$$ $$\text {We have }\quad Int (\overline {U\cap A}\subset Int(\overline A)\subset \overline {Int (\overline A)} = X \backslash U.$)$ $ U$\text {We also have }\quad Int (\overline {U\cap A})\subset \overline {U\cap A}\subset \overline U.$ Int (\ overline {U \ cap A})$ Now $ % #% \ Overline U.$ is an open set which is disjoint from $$, hence $ $ que es una contradicción.