Vamos a una función de $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser punto medio lineal si para todos $x,y\in\mathbb{R}$, $f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$. Si un punto medio de la función lineal $f$ es continua, entonces yo creo que se puede mostrar a través de una densidad argumento de que $f$ también es lineal. Sin embargo, si dejamos caer la suposición de continuidad, me pregunto si podemos construir (o al menos describir) un contraejemplo que es el punto medio de la función lineal, pero en realidad no es lineal. Debido a que el punto medio de la convexidad no implica que la convexidad sin el supuesto de la continuidad, creo que tal contraejemplo debe existir, y que es probable que sea a través de un conjunto de Vitali tipo de argumento que consiste en tomar una base para $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$. No estoy seguro de los detalles, aunque.
Respuesta
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Creo que tienes toda la razón: tomar una base de Hamel para$\Bbb R$$\Bbb Q$, y, a continuación, puede definir $f$ arbitrariamente en cada elemento base y se extienden de forma lineal a todos los de $\Bbb R$.
Por ejemplo, si $\pi$ es un miembro de su base de Hamel, entonces cada número real $x$ puede escribirse de forma única como $x = r\pi + {}$(racional combinación lineal de un número finito de otra base de elementos), donde $r$ es racional (posiblemente $0$). A continuación, puede definir $f(x) = r$. Esta función es punto medio-lineal (de hecho, racional-lineal), pero no lineal: se toma el valor de $0$ en un montón de números reales, incluyendo algunos de entre $\pi$$2\pi$, por ejemplo.
