Definición de topología utilizando la separación como noción primitiva

Question

En "Topología General", en el capítulo 1, ejercicio b, Kelley escribió en una nota de que es posible el uso de la noción de separación ($A$$B$ están separados iff $A^k\cap B=A\cap B^k=\emptyset$) como primitivas para definir espacios topológicos y él puso estas tres referencias bibliográficas:

Wallace: "La Separación De Los Espacios"

Krishna Murti: "Un conjunto de axiomas para álgebra topológica"

Szyrmanski: "La noción de des conjuntos separé comme terme primitif de la topologie"

He leído el de Wallace artículo, pero sus definiciones de la separación como primitivo sólo trabajo para la definición de las $T_1$-espacios (es decir, en que los únicos están cerrados). Por otra parte, yo no era capaz de encontrar en internet de los otros dos artículos.

¿Cómo puedo ajustar el Wallace definición de lo que funciona para la definición de cualquier espacio topológico?

$\textbf{Note:}$

Aquí es de Wallace definición:

Dado un conjunto $X$, una separación de la relación es una relación de $s\subseteq\mathcal{P}(X)\times\mathcal{P}(X)$ tal forma que:

1) $\emptyset\,s\,A$.

2) Si $A\,s\,B$,$B\,s\,A$.

3) Si $A\,s\,B$,$A\cap B=\emptyset$.

4) Si $A\,s\,B$$C\subseteq A$,$C\,s\,B$.

5) Si $A\,s\,C$$B\,s\,C$,$A\cup B\,s\,C$.

6) Si $\{x\}\,s\,A$,$\{x\}\,s\,\{y\in X:\neg\{y\}\,s\,A\}$.

7) Si $x\neq y$,$\{x\}\,s\,\{y\}$.

8) Si para todas las $x\in A$ y todos los $y\in B$ tenemos $\{x\}\,s\,B$$\{y\}\,s\,A$,$A\,s\,B$.

Luego de tomar $A^k=\{x\in X:\neg\{x\}\,s\,A\}$, sería un cierre de operador, pero el resultado topológico del espacio sería $T_1$.

Answer 1

No se puede hacer. Por ejemplo, permita que$X=\{0,1\}$ considere las topologías$\tau_0=\{X,\{0\},\emptyset\}$ y$\tau_1=\{X,\emptyset\}$ on$X$. Tenga en cuenta que$\tau_0$ y$\tau_1$ tienen exactamente los mismos conjuntos separados: a saber,$A,B\subseteq X$ están separados si al menos uno de ellos está vacío. Por lo tanto, para espacios no-$T_1$, una topología no siempre se puede recuperar de su relación de separación.

Answer 2

Tenga en cuenta que existe también una doble noción de proximidad: básicamente $\def\p{\mathbin{p}}\def\s{\mathbin{s}}\def\clo{\overline}\def\set#1{\{#1\}}A\p B \iff ¬A\s B$, y sus axiomas son sólo traducciones de los axiomas que dio (y excluyendo o incluyendo algunos de los axiomas en la lista que aparece lo que se llama Lodato proximidad o Efremovič de proximidad).

La deseada relación entre la topología y la separación es $x ∈ \clo{A} \iff ¬\{x\}\s A \iff \{x\}\p A$.

Como se observó en el dado de axiomas siempre dan un $T_1$ espacio. Es decir, el axioma 7 nos da $T_1$ y el axioma 2 nos da symmery. Tenga en cuenta que si 7 fue formulado $x ≠ y \implies (\set{x}\s\set{y}) ∨ (\set{y}\s\set{x})$, entonces implicaría sólo $T_0$, pero en combinación con 2 aún le $T_1$.

Así que si usted quiere ser capaz de obtener de cada topología, la caída de 2 y 7. Por otro lado, si pones $A \s B \iff A ∩ \clo{B} = ∅$, se va a reconstruir la topología original. Pero sería necesario para investigar, que los axiomas de la separación satisface. También, al colocar la simetría, tendrás que ser más cuidadoso en la formulación de los otros axiomas.

En situaciones como esta me gusta el enfoque sistemático que usted no comienza con la lista de los axiomas, sino con la construcción que asignar a los candidatos para un cierre de operador para cada relación binaria en a $\mathcal{P}(X)^2$, y, a continuación, probar proposiciones como "si la separación satisface esto, luego de que el operador cumple que" y "el operador cumple con este si y sólo si la distancia de separación que satisface". Entonces usted sabe que las propiedades que necesita para obtener una topología y que properies son extras dándole $T_0$, la simetría o la normalidad.