De hecho, si $A \subset (X,d)$ y $$O_n = \bigcup \{B(a, \frac{1}{n}): a \in A\}$$ then $$\bigcap_n O_n = \overline{A}\text{.}$$
Para ver esto: supongamos $x \in \overline{A}$, y deje $n \in \mathbb{N}$. A continuación, hay algunos $a \in A \cap B(x, \frac{1}{n}$, lo que significa $x \in B(a, \frac{1}{n}) \subseteq O_n$. Como esto vale para todos los $n$, la inclusión de derecha a izquierda ha sido demostrado.
Si, por otro lado, $x \in \bigcap_n O_n$, vamos a $r>0$ y pick $n$ suficientemente grande como para que $\frac{1}{n} < r$. A continuación,$x \in O_n$, por lo que para algunos $a \in A$, $x \in B(a, \frac{1}{n})$. Ahora, $a \in B(x, r) \cap A$ y $r$ fue arbitraria, $x \in \overline{A}$, lo que muestra la otra inclusión.
En particular, todos los conjuntos cerrados $A$ en un espacio métrico es un contable intersección de abrir sets (tales espacios se llama "perfecto", y si es normal y $T_1$, como métrica de los espacios, que son llamados "perfectamente normal" (o $T_6$)).
Pero métricas espacios donde todos los conjuntos son un $G_\delta$ (es decir, contables intersección de abrir sets) son raros.
Por supuesto contables $T_1$ espacios de $X$ general de trabajo, porque $$A = \bigcap \{ X\setminus \{x\}: x \notin A\}$$ is then a countable intersection of open sets for any $A \subseteq X$. En cualquier tamaño de un espacio diferenciado de todos los subconjuntos ya están abiertas. Así que estos obedecen.
También hay otros (no discretas, infinidad de espacios que obedecer: la racional, la topología de la secuencia en los reales, y Mrówka $\Psi$-espacio para nombrar dos ejemplos famosos.
