Teoría de la representación: Una historia de origen.

Question

Lo he leído:

Dedekind hizo la observación: tomando la tabla de multiplicación de un grupo finito $G$ y convertirlo en una matriz $X_G$ sustituyendo cada entrada $g$ de la tabla por una variable $x_g$ . El determinante de $X_G$ factores en un producto de polinomios irreducibles, cada uno de los cuales ocurre con multiplicidad igual a su grado.

Por un segundo no pude pensar en lo que significaba "multiplicidad igual a su grado" y luego me di cuenta de que debían significar que tengo $f_1^{a_1}f_2^{a_2}f_3^{a_3}$ donde $f_i$ son irreducibles, y cada uno tiene grado $a_i$ .

Así que fui a comprobar esto en un caso fácil, para asegurarme de que lo había entendido, y veo que para $\Bbb Z_3$ : $$\begin{matrix}&0&1&2\\0&0&1&2\\1&1&2&0\\2&2&0&1\end{matrix} \mapsto \begin{bmatrix}x_0&x_1&x_2\\x_1&x_2&x_0\\x_2&x_0&x_1\end{bmatrix}$$ Donde el determinante de esto es $$-x_0^3-x_1^3-x_2^3+3x_0x_1x_2=-(x_0+x_1+x_2)(x_0^2+x_1^2+x_2^2-x_0x_1-x_0x_2-x_1x_2)$$ que creo que son irreductibles. Pero este último término tiene grado $2$ y la multiplicidad $1$ .

¿Qué ha fallado?

Answer 1

El factor cuadrático es de hecho reducible, pero hay que trabajar sobre los números complejos: $$ \begin{aligned} &x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 - x_0 x_1 - x_0 x_2 - x_1 x_2 \\&= (x_0 + \tfrac12 x_1 + \tfrac12 x_2)^2 + \tfrac34 (x_1 - x_2)^2 \\&= A^2 + B^2 \\&= (A+iB)(A-iB) . \end{aligned} $$