Relaciones de renormalización y conmutación canónica

Question

Mi pregunta es si las relaciones de conmutación canónicas se mantienen para los campos cuánticos renormalizados. A continuación muestro el razonamiento que ha provocado las dudas.

Consideremos una QFT escalar relativista. Tenemos la descomposición espectral de la función de dos puntos $$\langle \Omega | \phi(x_1) \phi(x_2) | \Omega \rangle = \int \frac{\mathrm d m^2}{2 \pi} \rho(m^2) \Delta_+(x_1-x_2,m^2),$$ donde $\rho \geq 0$ se llama función de densidad espectral y la distribución $\Delta_+$ se define como $$\Delta_+ (x,m^2) = \int \frac{\mathrm d ^3 p}{(2 \pi)^3 2p^0} e^{-ipx},$$ con la integral evaluada sobre la frecuencia positiva ( $p^0 \geq 0$ ) de la masa de la cáscara $p^2=m^2$ . Supuse que por encima de ese campo $\phi$ no tiene valor de expectativa en el vacío. Si tomamos la diferencia de la primera fórmula consigo misma con $x_2$ y $x_1$ intercambiados, fijados $x_2 = 0$ , tomar la derivada con respecto a $x_1^0$ y establecer $x_1^0=0$ obtenemos el conmutador canónico en el lado izquierdo. Comparando con el lado derecho se obtiene la regla de la suma de Weinberg para la densidad espectral: $$\int \frac{\mathrm d m^2}{2 \pi} \rho(m^2) = 1.$$ Lo que me molesta es que el valor de esta integral depende de los valores de las partes finitas de las constantes de renormalización. Por lo tanto, no es independiente del esquema de renormalización ni de la escala. He comprobado algunos ejemplos sencillos y resulta que es posible aplicar esta relación como condición de renormalización y fijar el valor de la renormalización de la función de onda. Sin embargo, no creo que esto sea lo que se hace habitualmente.

Answer 1

Las relaciones de conmutación para los campos renormalizados son diferentes a las de los campos desnudos por factores de renormalización de la función de onda. Como ejemplo, consideremos un campo escalar complejo, $\phi$ . Los campos desnudos obedecen, por ejemplo, a $$\left[ \phi (x) , \phi (y) ^\dagger \right] = \int \frac{ d^3p }{ (2\pi)^3 } e ^{ i p \cdot x }$$ mientras que los campos renormalizados ( $\phi _r \equiv \phi /\sqrt{ Z}$ ) obedecer, $$\left[ \phi _r (x) , \phi _r (y ) ^\dagger \right] = Z \int \frac{ d^3p }{ (2\pi)^3 } e ^{ i p \cdot x }$$

¿Debemos preocuparnos por esto? Yo creo que no. La conclusión importante con respecto a las relaciones de conmutación es que desaparecen para los puntos similares al espacio para ser consistentes con la relatividad especial. Aparte de eso, no juegan un papel importante en este caso.

Como punto secundario, el producto ordenado en el tiempo de los campos también es diferente para los campos desnudos y renormalizados. Esto lleva a una modificación del propagador, como sospecho que ya sabes.

Answer 2

El axioma relevante.

Cualquier campo (canónico), renormalizado o no, satisface, por postula , $$[\phi,\pi]=\delta$$ donde $\pi$ es el campo conjugado a $\phi$ . En la teoría del campo lagrangiano, $$\pi\overset{\mathrm{def}}=\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot\phi}$$

Caso 1.

Si $\phi$ es un campo no normalizado, $$\mathcal L=\frac12\dot\phi^2_{\mathrm{un}}+\cdots$$ entonces $$[\phi_{\mathrm{un}},\dot\phi_{\mathrm{un}}]=\delta$$

Caso 2.

Por otro lado, si $\phi$ es un campo renormalizado, $$\mathcal L=\frac12Z\dot\phi^2_{\mathrm{re}}+\cdots$$ entonces $$[\phi_{\mathrm{re}},Z\dot\phi_{\mathrm{re}}]=\delta$$

Lo mejor.

En conclusión los conmutadores canónicos, cuando se expresan en términos de variables (canónicas) del espacio de fase, son independientes de la normalización de los campos. Cuando se expresan en términos de, por ejemplo, variables del espacio de configuración, dependen de la normalización de los campos.