¿Por qué no es válida esta inferencia?

Question

Así que compré un libro de lógica (para principiantes) ya que el tema me interesa, y el autor presenta la siguiente afirmación como ejemplo de una inferencia inválida:

"Todo el mundo quería ganar el premio; así que la persona que ganó la carrera quería ganar el premio".

Simbolizado de la siguiente manera, donde xP es 'x quería ganar el premio' y xR es x ganó la carrera". : $$\frac{\forall x\;xP}{(|x\;xR)P }$$ donde |x significa "el objeto x, tal que" (una anotación que no encuentro en ningún otro sitio ).

El autor afirma que esto no es válido porque existe potencialmente una situación s en el que todo el mundo satisface P pero nadie satisface R . Pero no entiendo cómo puede ser esto cierto, debido a la estructura de la frase - seguramente, xR en la conclusión significa que la carrera se corrió y hubo un ganador?

Answer 1

No hay garantía de que la carrera se haya disputado, ni de que alguien haya ganado; tal vez todos querían ganar, pero la carrera se suspendió por la lluvia. Tal vez todos los corredores cruzaron la línea de meta al mismo tiempo, y el oficiante decidió que nadie sería declarado ganador. Tal vez nadie se inscribió en la carrera. $S$ está vacío, entonces una declaración como $(\forall x \in S) P(x)$ es vacuamente cierto pero cualquier intento de decir algo sobre un elemento particular de $S$ no tendrá ningún significado.

Answer 2

Hmm sí, el problema parece estar en esa "notación que parece no encontrar en ningún sitio" de la que yo tampoco he oído hablar. (Aunque Henning, en los comentarios, parece haberla localizado).

Referirse a "la persona que ganó la carrera" como un objeto es impar desde la perspectiva de la lógica matemática, ya que supone que esa persona existe y es única. Así que traducir la segunda frase a la lógica es un poco complicado. Dado que el autor tiene una notación para ello, tal vez sea una abreviatura de un enunciado de primer orden o estemos trabajando en un sistema no estándar. Si es una abreviatura, probablemente se definiría como: $$(|x\,xR)P = ((\exists!x)xR) \wedge ((\forall x) (xR\rightarrow xP)) $$ es decir, el enunciado está afirmando implícitamente que "la persona que ganó la carrera" existe.

En el caso de que no haya nadie que haya ganado la carrera, esto es falso, independientemente de que $\forall x\, xP$ es cierto, por lo que encaja con lo que dice el autor.

Answer 3

La notación es difícil de entender, tal y como yo la leo:

$$\frac{\forall x\;xP}{(|x\;xR)P }$$

es equivalente a:

$$\forall x P(x) \rightarrow \exists x (R(x)\land P(x))$$

Lo que implica:

$$\forall x P(x) \rightarrow \exists x R(x)$$

Y esto no es el caso, ya que $R(x)$ nunca podría ser verdadera, para cualquier x.

Answer 4

En los análisis tradicionales de la presuposición, cualquier cosa que haga que esta inferencia sea errónea también haría que el consecuente carezca de sentido, ya que el uso de "el" presupone la existencia de un único individuo contextualmente destacado que ganó una única carrera contextualmente destacada.

Dado que la notación lógica contiene un símbolo correspondiente a "el", esto debería trasladarse al valor de verdad de la notación lógica, es decir, su fórmula lógica contiene una presuposición abierta que debe ser llenada contextualmente. Tradicionalmente, se asume que una frase que tiene una presuposición no rellenada carece de valor de verdad, es decir, no es ni verdadera ni falsa. (El caso clásico es la frase "El actual rey de Francia es calvo", donde no hay ningún rey actual de Francia).

Así, la frase inglesa "Everyone wanted to win the prize; so the person who won the race wanted to win the prize" es verdadera cuando se cumple la presuposición, es decir, hay un individuo que ganó una determinada carrera, y yo diría que compromete a cualquiera que la diga a creer en la existencia del individuo, lo que la haría verdadera una vez más. Que eso haga que la frase sea verdadera como frase abstracta me parece discutible.

Que la inferencia en su notación lógica sea correcta o no dependerá, por supuesto, del significado exacto de su operador "the".

Answer 5

Su última frase insinúa por qué esto no está permitido:

"seguramente, xR en la conclusión significa que la carrera se corrió y hubo un ganador"

Cada postulado debe significar una cosa y sólo una cosa. Decir que la carrera se corrió y que hubo un ganador requiere dos postulados. Esta regla existe para evitar las paradojas.

Se podría utilizar funcionalmente algún modelo de lógica en el que esto no sea un problema, pero la mayoría de los lógicos están de acuerdo en utilizar un modelo en el que es un problema. Lo ven como un ejemplo de la "paradoja de la montaña dorada":

"Todas las montañas doradas son montañas, todas las montañas doradas son doradas, por lo tanto algunas montañas son doradas"

Es un enigma filosófico argumentar que el ganador de la carrera existe sin un postulado que lo apoye. Se pueden realizar algunas operaciones con él si se asume que existe: Estoy escribiendo sobre él ahora mismo. Sin embargo, otras no pueden: No podemos pedirle que apoye nuestros cereales.

¿Ha creado un ganador introduciéndolos a través de la lógica? ¿Es calvo? ¿Puedes coronarlo? ¿Podría crear otra persona con la misma facilidad? ¿Es consistente el valor de verdad de esa creación (podrían dejar de existir)?

Si te interesa el tema, puedes buscar o preguntar sobre el "Existencialismo"; la escuela de pensamiento sobre cómo, por qué y si las cosas existen. Hay muchas cosas relacionadas, pero hay algunas paradojas excelentes y entretenidas. Aquí están algunas de mis favoritas:

• https://en.wikipedia.org/wiki/The_Treachery_of_Images
• ¿Harry Potter es calvo?
• La secuela de La traición de las imágenes, "Los dos misterios"