Encontrar la suma de todos los valores de $a$ satisfacer que existen enteros positivos $a,b$ satisfacción $$(a-b) \sqrt{ab}=2016$ $
mi intento
let $a= x^2$ , $b= y^2$ $\to$ $(a-b) \sqrt{ab}$=$(x^2-y^2)(xy)=2016$
¿Este enfoque es apropiado para este problema? elaborar por favor su ayuda
Cada número puede ser, naturalmente, descompuesto en $r^2c$ algunos $r$ y algunos squarefree $c$. Ahora, como se explicó anteriormente, $ab$ debe ser un número cuadrado, así que si $a = r^2c$ $b=s^2d$ $r^2s^2cd$ es un número cuadrado, por lo $cd$ debe ser un número cuadrado, ya que cada uno es squarefree, tenemos que $c=d$.
Ahora podemos saber que $a = r^2c$ $b=s^2c$ para algunos squarefree $c$. También sabemos que $a-b>0$$r > s$. La ampliación de la ecuación en nuestras nuevas variables, obtenemos que $2016=rsc^2(r^2-s^2)$ @lab, explicó.
Ahora, $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$. Como $c^2 | 2016$, $c = 1$ o $2$ o $3$ o $4$ o $6$. Pero $c$ es la plaza libre, así que descuento el penúltimo caso. Tenga en cuenta que si $c=1$ produce una solución, entonces sólo tenemos que comprobar si esto es una solución a $c=4$, pero la solución de ambas ecuaciones, no es necesario.
Teniendo en cuenta la ecuación módulo $3$, sabemos que si $3 \mid c$, $r,\, s,\, (r^2 - s^2)$ no son todos divisibles por 3. Sin embargo, si $3 \nmid r, s$$r^2 - s^2 \equiv 0 \mod 3$. Que es una contradicción de salir de los casos $c = 1$$c=2$.
Cada uno aproximadamente se parece a $n = rs(r+s)(r-s)$, lo que podría fuerza bruta, pero personalmente creo que hay una mejor y más hermosa de la respuesta que el número de teóricos serán capaces de dar.
El comienzo de una solución.
La factorización en primos de $2016$$2^5\cdot3^2\cdot7$.
En orden para $\sqrt{ab}$ a ser un número entero, tanto en $a$ $b$ deben ser múltiplos de plazas y los mismos factores, es decir,$a=zx^2,b=zy^2, x>y$. Por lo tanto: $$(a-b)\sqrt{ab}=z^2(x^2-y^2)xy = 2016$$
Utilice el hecho de que si ninguno de los dos números es divisible por 3, la diferencia de sus cuadrados deben ser. Por lo tanto, $z$ no puede ser un múltiplo de $3$, y dado que no puede ser un múltiplo de $7$, debe ser uno de $1,2,4$. Así que ahora debemos resolver: $$(x^2-y^2)xy = 2016 = 2^5\cdot 3^2\cdot7$$ $$(x^2-y^2)xy = 504 = 2^3\cdot 3^2\cdot7$$ $$(x^2-y^2)xy = 126 = 2^1\cdot 3^2\cdot7$$
$$\text{Buscar} \;\sum_{(a,b) \S}un \qquad \text{donde} \qquad S=\{(a,b)\in \mathbb Z^+ : (a-b)\sqrt{ab}=2016\}$$
Deje $(a,b) \in S$ y deje $x = \sqrt{ab}$. A continuación,$(a-b) = \dfrac{2016}{x}$.
Así
$$\left\{ \begin{array}{c} a = \sqrt{ab + \frac 14(a-b)^2} + \frac 12(a-b) \\ b = \sqrt{ab + \frac 14(a-b)^2} - \frac 12(a-b) \\ \end{array} \right\} \implica \left\{ \begin{array}{c} a = \sqrt{x^2 + \dfrac{1008^2}{x^2}} + \dfrac{1008}{x} \\ b = \sqrt{x^2 + \dfrac{1008^2}{x^2}} - \dfrac{1008}{x} \\ \end{array} \right\}$$
Necesitamos resolver $x^2 + y^2 = z^2$ donde $xy = 1008$.
Por ahora, debido a la simetría, podemos suponer $x < y$. A continuación, las posibilidades de $x$ $$x \in \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28\}$$
Los residuos cuadráticos módulo $11$
\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & 1,10 & 2,9 & 3,8 & 4,7 & 5,6 \\ x^2 & 0 & 1 & 4 & 9 & 5 & 3 \\ \hline \end{array}
Desde $xy = 1008 = 7 = 18 = 29 = 40 = 51 = 62 = 73 = 84 = 95 \pmod{11}$, las posibilidades de $x,y$ (que representan el $x, y$ simetría)
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y & 7 & 9 & 6 & 10 & 8 \\ x^2 + y^2 & 6 & 8 & 1 & 6 & 1 \\ \hline \end{array}
Nos encontramos con $x \pmod{11} \in \{3,5,6,8\}$. Este whittles la lista de abajo para $$x \in \{3, 6, 8, 14, 16, 28\}$$
Los residuos cuadráticos módulo $13$
\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & 1,12 & 2,11 & 3,10 & 4,9 & 5,8 & 6,7 \\ x^2 & 0 & 1 & 4 & 9 & 3 & 12 & 10 \\ \hline \end{array}
Desde $xy = 1008 = 7 = 20 = 33 = 46 = 59 = 72 = 85 = 98 \pmod{13}$, las posibilidades de $x,y$ (que representan el $x, y$ simetría)
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8\\ y & 7 & 10 & 11 & 5 & 12 & 9\\ x^2+y^2 & 11 & 0 & 0 & 2 & 11 & 2 \\ \hline \end{array}
Nos encontramos con $x \pmod{13} \in \{ 2, 3, 10, 11 \}$ Este whittles la lista de abajo para $$x \in \{3, 16, 28\}$$
Calculamos el $x, y,$$z$.
\begin{array}{ccc} x & y=\dfrac{1008}{x} & z=\sqrt{x^2+y^2} \\ \hline 3 & 336 & 336.0133926 \\ \color{red}{16} & \color{red}{63} & \color{red}{65} \\ 28 & 36 & 45.607017 \\ \hline \end{array}
Por lo tanto
\begin{array}{ccc|cc|c} x & y=\frac{1008}{x} & z=\sqrt{x^2+\left(\frac{1008}{x}\right)^2} & a=z+y & b=z-y & (a-b)\sqrt{ab} \\ \hline 16 & 63 & 65 & 128 & 2 & 2016 \\ 63 & 16 & 65 & 81 & 49 & 2016 \\ \hline \end{array}
Por lo $\sum_{(a,b)\in S}a = 128 + 81 = 209$
$$(a-b)\sqrt{ab}=2016\tag1$$
Desde $a-b$ es un entero positivo, $\sqrt{ab}$ es un número racional positivo. Deje $\sqrt{ab}=\dfrac mn$ donde $m,n$ son enteros positivos tales que a $\gcd(m,n)=1$, de la cual tenemos $ab=\dfrac{m^2}{n^2}$. El lado izquierdo es un número entero, por lo que es la RHS, de la que tenemos que tener $n=1$.
Dado que tanto $a-b$ $\sqrt{ab}$ son enteros positivos, podemos establecer $a-b=s,ab=t^2$ donde $s,t$ son enteros positivos tales que a $st=2016$.
Desde $a=s+b,t=\dfrac{2016}{s}$, tenemos $$ab=t^2\implies (s+b)b=\left(\dfrac{2016}{s}\right)^2\implies b=\dfrac{-s^2+\sqrt{D}}{2s}$$ donde $D=s^4+ 2^{12}\cdot 3^4\cdot 7^2$.
Desde $2016=2^5\times 3^2\times 7^1$, vamos a $s=2^i\cdot 3^j\cdot 7^k$ donde $i,j,k$ son enteros no negativos tales que $0\le i\le 5,0\le j\le 2$$0\le k\le 1$.
Desde $s$ es un divisor positivo de $2016$, $(5+1)(2+1)(1+1)=36$ de los casos a considerar, pero no es necesario para comprobar si $\sqrt D$ es un número entero para $36$ diferentes $s$ respectivamente.
Ahora, $$\small\begin{align}\sqrt D&=\sqrt{s^4+ 2^{12}\cdot 3^4\cdot 7^2}\\\\&=\sqrt{2^{4i}\cdot 3^{4j}\cdot 7^{4k}+2^{12}\cdot 3^4\cdot 7^2}\\\\&=\sqrt{2^{\min(4i,12)} 3^{\min(4j,4)} 7^{\min(4k,2)}(2^{4i-\min(4i,12)} 3^{4j-\min(4j,4)} 7^{4k-\min(4k,2)}+2^{12-\min(4i,12)} 3^{4-\min(4j,4)} 7^{2-\min(4k,2)})}\\\\&=2^{\min(2i,6)} 3^{\min(2j,2)} 7^{\min(2k,1)}\sqrt{2^{4i-\min(4i,12)} 3^{4j-\min(4j,4)} 7^{4k-\min(4k,2)}+2^{12-\min(4i,12)} 3^{4-\min(4j,4)} 7^{2-\min(4k,2)}}\end{align}$$ Tenga en cuenta que $$(4i-\min(4i,12))(12-\min(4i,12))=0$$ $$(4j-\min(4j,4))(4-\min(4j,4))=0$$ $$(4k-\min(4k,2))(2-\min(4k,2))=0$$ a partir de la cual podemos ver que $\sqrt D$ es de la forma $$u\sqrt{1+v^2},\quad u\sqrt{3^4+(7v)^2},\quad u\sqrt{7^2+(2^{2w}\cdot 3^z)^2},\quad u\sqrt{2^{4v}+3^w\cdot 7^z}$$ donde $u,v$ son enteros positivos, y $w,z$ son enteros no negativos.
Podemos ver fácilmente que la primera de las tres formas no puede ser un número entero.
$\sqrt D=u\sqrt{1+v^2}$ no es un número entero desde $1+y^2=x^2\iff (x-y)(x+y)=1$ no tiene ningún número entero positivo de soluciones.
$\sqrt D=u\sqrt{3^4+(7v)^2}$ no es un número entero desde el entero positivo soluciones para$3^4+y^2=x^2\iff (x-y)(x+y)=3^4$$(x-y,x+y)=(1,3^4),(3,3^3)$, es decir,$(x,y)=(41,40),(15,12)$, desde el que hay no $v$ tal que $7v=40,12$.
$\sqrt D=u\sqrt{7^2+(2^{2w}\cdot 3^z)^2}$ no es un número entero desde el entero positivo solución para$7^2+y^2=x^2\iff (x-y)(x+y)=7^2$$(x-y,x+y)=(1,7^2)$, es decir,$(x,y)=(25,24)$, de la cual no hay $(w,z)$ tal que $2^{2w}\cdot 3^z=24$.
Para el formulario de $\sqrt D=u\sqrt{2^4+3^w\cdot 7^z}$,$(i,j,k)=(4,0,0),(2,2,1)$. En cualquier caso, $\sqrt D$ es de la forma $u\sqrt{2^4+3^4\cdot 7^2}=u\sqrt{3985}=u\sqrt{5\times 797}$ que no es un número entero donde $797$ es un primo.
Para el formulario de $\sqrt D=u\sqrt{2^8+3^w\cdot 7^z}$,$(i,j,k)=(5,0,0),(1,2,1)$. En cualquier caso, $\sqrt{D}$ es de la forma $u\sqrt{2^8+3^4\cdot 7^2}=65u$ que es un entero, el cual da $(a,b)=(81,49),(128,2)$ respectivamente.
Para el formulario de $\sqrt D=u\sqrt{2^{12}+3^w\cdot 7^z}$,$(i,j,k)=(0,2,1)$. En este caso, $\sqrt D$ es de la forma $u\sqrt{2^{12}+3^4\cdot 7^2}=u\sqrt{8065}=u\sqrt{5\times 1613}$ que no es un número entero donde $1613$ es un primo.
Desde las soluciones para$(1)$$(a,b)=(81,49),(128,2)$, la respuesta es $$81+128=\color{red}{209}$$
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