Deje $X$ ser cualquier conjunto infinito y $f:X^n\to X$ $n$- ary operación para algunos $n>2$. Deje $g:X\times X\to X$ ser cualquier bijection, y deje $h:X^{n-1}\to X$ ser dado por $h(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})=f(y_0,y_1,x_2,\dots,x_{n-1})$ donde$y_0,y_1\in X$, son los únicos elementos que $g(y_0,y_1)=x_1$. Entonces tenemos $$f(x_0,x_1,\dots,x_{n-1})=h(g(x_0,x_1),x_2,\dots,x_{n-1}).$$ That is, $f$ is a composition of one binary operation and one $(n-1)$-ary operation. By induction on $n$, this shows that any $n$-ary operation on $X$ can be written as a composition of $n-1$ binary operations (and in fact, all but the last of these binary operations can be chosen to be some fixed bijection $X\times X\a X$).
Tenga en cuenta que claramente no se puede utilizar menos de $n-1$ operaciones binarias, ya que en cualquier expresión formada por componer $k$ operaciones binarias, usted sólo tiene $k+1$ diferentes entradas. Así que si usted tenía menos de $n-1$ operaciones, una de las variables que necesitaría para no aparecer como una entrada en el todo, y así el $n$-ary operación no podía depender de esa variable.
Si usted imponer restricciones adicionales sobre qué tipo de operaciones está permitido utilizar, esta pregunta puede ser mucho más sutil, y es generalmente conocido como (variaciones) de Hilbert xiii problema. Por ejemplo, en el caso de $X=\mathbb{R}$, si necesita todas las operaciones de ser continua, entonces es un teorema de Arnold y la prueba de Kolmogorov que cada operación puede ser escrito como una composición de las operaciones binarias (o, de hecho, una composición de adición y operaciones unarias). Si usted requiere de las operaciones a ser suave en su lugar, a continuación, para cada $n$ hay $n$-ary operaciones en $\mathbb{R}$ que no son composiciones de operaciones de menor arity (ver https://mathoverflow.net/questions/195380/are-all-smooth-functions-composites-of-0-1-and-2-ary-functions).
