Suma peculiar con respecto a los coeficientes de binomio recíproco

Question

Mientras que jugando en Wolfram Alpha, he escrito en la suma $$\sum_{x=0}^\infty \frac{1}{\binom{2x}{x}}=\frac{2}{27}(18+\pi\sqrt 3)$$ No estoy seguro de cómo derivar la respuesta. Mi primer instinto fue el de expandir el coeficiente binomial para obtener $$\sum_{x=0}^\infty \frac{x!^2}{(2x)!}$$ y, a continuación, pruebe a utilizar una Serie de Taylor para obtener la respuesta. Pensé que si podía encontrar una función $f(n)$ con $$f(n)=\sum_{x=0}^\infty \frac{x!^2n^x}{(2x)!}$$ Entonces mi suma será igual a $f(1)$. ¿Cómo puedo encontrar una función de este tipo?

EDIT: he seguido este camino y se dio cuenta de que puedo usar esto para establecer una relación de recurrencia para $f^{(x)}(0)$:

$$f^{(0)}(0)=1$$ $$f^{(x)}(0)=\frac{x^2}{2x(2x-1)}f^{(x-1)}(0)$$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo esto me ayuda a encontrar $f(1)$...

Estoy en el camino correcto? Puede alguien ayudarme a terminar lo que he empezado, o me apunte hacia un mejor método de cálculo de esta suma?

Gracias!

Answer 1

Sugerencia. Se puede observar que $$ \frac{1}{\binom{2n}{n}}=n\int_0^1 t ^ {n-1}(1-t) ^ ndt, \qquad n\ge1, $$ dando $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{\binom{2n}{n}}=1+\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty nt ^ {n-1}(1-t) ^ n\:dt = 1 + \int_0^1\frac {t-1} {\left (t ^ 2-t + 1\right) ^ 2} dt = \frac {2} {27} \left (18 + \sqrt {3} \pi \right) $$ la última integral es evaluada clásicamente por fracción parcial descomposición.

Answer 2

\begin{eqnarray*} \binom{2n}{n} ^{-1} = \frac{2n+1}{2^{2n+1}} \int_{-1}^{1} (1-x^2)^n dx \end{eqnarray *} sustituye esta sumando y inerchange el orden de la integral y la suma. \begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{2n+1}{2^{2n+1}} (1-x^2)^n dx &=& \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \left(2\frac{(\frac{1-x^2}{4})}{(1-(\frac{1-x^2}{4}))^2}+ \frac{1}{1-(\frac{1-x^2}{4})} \right) dx \\ = \int_{-1}^{1} \frac{16}{(3+x^2)^2} dx - \int_{-1}^{1} \frac{2}{(3+x^2)} dx \end{eqnarray *} ahora usar integrales estándar\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \frac{1}{(3+x^2)} dx = \frac{ \pi}{3 \sqrt{3}} \\ \int_{-1}^{1} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx = \frac{ 1}{12} + \frac{ \pi}{18 \sqrt{3}} \\ \end{eqnarray *} y el resultado sigue.