Intuición detrás de la definición de un conjunto medible

Question

Esta semana he visto la definición de un conjunto medible para una medida exterior.

Dejemos que $\mu^*$ sea una medida externa sobre un conjunto $X$ . Llamamos $A \subseteq X$ medible si $$\mu^*(E) = \mu^*(A\cap E) + \mu^*(A^c\cap E)$$ por cada $E \subseteq X$ .

No es la primera vez que veo esta definición. A diferencia de la mayoría de las cosas en las matemáticas, con el tiempo no he obtenido ninguna intuición de por qué esta es la definición.

La única explicación que he visto es que un conjunto es medible si "rompe" otros conjuntos de la forma que se desea. Sin embargo, no veo por qué esta es la motivación. Una de las razones por las que no me siento cómodo es que se requiere que un conjunto medible rompa conjuntos que, según esta definición, no son medibles; ¿por qué se requiere eso? Por supuesto, no se puede decir lo que es un conjunto no medible sin definir primero lo que significa ser medible, así que supongo que, sea cual sea tu condición, tendrá que aplicarse a todos los subconjuntos de $X$ .

¿Existe una forma intuitiva de pensar en la definición de conjuntos medibles? ¿Existe una buena razón por la que debamos utilizar esta definición, aparte de que "funciona"?

Answer 1

Como menciona Yuval en los comentarios, esta cuestión se ha debatido anteriormente en MathOverflow . He replicado la respuesta aceptada por Mark a continuación.

He aquí un argumento que puede dar alguna intuición:

Supongamos que $m^{*}$ es una medida externa en $X$ y supongamos además que esta medida exterior es finita:

$m^* (X) < \infty$

Definir una "medida interior" $m_*$ en $X$ por

$m_* (E) = m^* (X) - m^* (E^c) $

Si $m^*$ fue, digamos, inducido a partir de una medida contablemente aditiva definida sobre algún álgebra de conjuntos en $X$ (como la medida de Lebesgue se construye utilizando el álgebra de uniones disjuntas finitas de intervalos de la forma $(a,b]$ ), entonces un subconjunto de $X$ será medible en el sentido de Caratheodory si y sólo si su medida exterior y su medida interior coinciden.

Desde este punto de vista, la construcción de la medida (así como la $\sigma$ -de conjuntos medibles) no es más que una generalización de la construcción natural de la integral de Riemann sobre $\mathbb{R}^n$ - se trata de aproximar el área de un conjunto acotado $E$ desde el exterior utilizando un número finito de rectángulos, y de forma similar desde el interior, y el conjunto es "medible en el sentido de Riemann" (o "medible de Jordan") si la mejor aproximación exterior de su área coincide con la mejor aproximación interior de su área.

El punto aquí (que a menudo no se enfatiza cuando se enseña la integración de Riemann por primera vez) es que el concepto de "área interna" es redundante y puede definirse en términos del área externa tal como lo hice anteriormente (se toma algún rectángulo que contenga al conjunto y se considera la medida externa del complemento del conjunto con respecto a este rectángulo).

Por supuesto, la construcción de Caratheodory no requiere $m^*$ para ser finita, pero sigo pensando que esto da alguna intuición decente para el caso general (a menos que pienses que la construcción de la integral de Riemann en sí misma no es intuitiva :) ).

Answer 2

Es una pregunta antigua, pero los estudiantes de teoría de la medida la plantean a menudo.

En nuestro texto Análisis real (Bruckner ${}^2$ *Thomson) Ejemplo 2.28 en la sección 2.7 hay una motivación para esto que Andy utilizó en sus clases.

Habrás visto que la idea de la medida interior/exterior tuvo éxito para la medida de Lebesgue en un intervalo. Ciertamente, si esperas la aditividad de la medida, es una idea obvia. Además, cuando Lebesgue la utilizó, la idea de superior=inferior estaba bastante bien establecida.

El ejemplo que da Andy es de una medida exterior finita muy simple $\mu^*$ en $X=\{1,2,3\}$ con $\mu^*(X)=2$ , $\mu^*(\emptyset)=0$ y por otra parte $\mu^*(A)=1$ . Ciertamente se puede definir una medida interna pero $\mu_*(A)=\mu^*(A)$ funciona para todos los subconjuntos y sin embargo esa medida no es ni siquiera finitamente aditiva. Evidentemente, para detectar los conjuntos en los que la medida será aditiva hay que comprobar algo más que si $\mu^*(A)+\mu^*(X\setminus A)=\mu^*(X)$ . A Caratheodory se le ocurrió la idea de probar todo no sólo establece $X$ mismo (ya que claramente no funciona).