Mostrar que $y^2=x^3+1$ tiene infinitamente muchas soluciones sobre $\mathbb Z_p$.

Question

Primero lo comparó con cómo se resuelve esto sobre los números verdaderos. Diría:

• $y^2=\alpha$ tiene una solución para todos los $\alpha>0$, de que hay infinitamente muchos.
• $x^3+1>0$ % todo $x>-1$, que son también infinitamente muchos.

Sin embargo parece que no puedo extender esta forma de pensar a $\mathbb Z_p$. Tengo un fuerte presentimiento que necesito utilizar el lema de Hensel de alguna manera, pero simplemente no veo cómo.

Answer 1

Desea mostrar que existe la raíz cuadrada de $\sqrt{x^3 + 1}$ $\mathbb{Z}_p$ % infinitamente muchos $x$. Para ello, Mostrar eso si $p \mid x$, entonces

$$\sqrt{1 + x^3} = \sum_{n \ge 0} {1/2 \choose n} x^{3n}$$

converge en $\mathbb{Z}_p$. (El caso $p = 2$ es, como de costumbre, un poco diferente, pero no tan mal.)

Answer 2

En lugar de apelar a el Teorema del Binomio, como Qiaochu hizo, o a Hensel, usted puede hacerlo "analíticamente", sabiendo que en términos de los locales uniformizing parámetro $x$$(0,1)$, usted debe ser capaz de expandir $\eta=y-1$ como una serie en $x$ sin término constante. Hacer que la sustitución, se obtiene a partir de a$y^2=x^3+1$$\eta=(x^3-\eta^2)/2$, que se puede mirar como un procedimiento recursivo para obtener la expansión de la $\eta$. El resultado es $$ \eta=\frac12x^3 - \frac18x^6 + \frac1{16}x^9 - \frac5{128}x^{12} + \frac7{256}x^{15}-\cdots\,, $$ y, por supuesto, esto es exactamente el Binomio de expansión. Acaba de hacer una sustitución de $x\mapsto x_0$ $x_0$ lo suficientemente pequeño, y usted obtendrá una serie convergente.

Debo decir que este procedimiento es mucho más divertido si lo haces en el barrio de el punto de $\Bbb O$ en el infinito de esta curva, es decir, $(0:1:0)$ projectively. Allí, la descripción de la curva en términos de$\xi=x/y$$\zeta=1/y$$\zeta=\xi^3+\zeta^3$, el l.u.p. ser $\xi$, por lo que obtener un $\Bbb Z$-series para $\zeta$ en términos de $\xi$. Como yo lo veo, esta expansión no sale de el Teorema del Binomio.