Existencia de estructuras complejas de fibrados vectoriales complejos

Question

Deje $E$ ser un verdadero vector de paquete en una suave colector $X$. Deje $J : E \to E$ ser un vector paquete de morfismos (es decir, $\pi \circ J = \pi$ donde $\pi : E \to X$ es el mapa de proyección) con $J^2 = -\textrm{id}$. A continuación, $E$ es un vector complejo paquete ($E_x$ tiene una estructura compleja dado por $(a + bi)v = av + bJ_x(v)$). Voy a llamar a $J$ un casi compleja estructura en $E$ -$E = TX$, esta es la norma.

Hay alguna relación entre casi una compleja estructura en un vector paquete de $E$ y la existencia de una estructura compleja en $E$ como un colector? Es decir, ¿hay algo que podamos decir acerca de la $J$ que nos ayudará a determinar si $E$ es un complejo colector?

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Otra forma de enfocar esta cuestión es la siguiente:

Si usted tiene un suave colector, la cual pasa a ser un vector complejo paquete de más de algunos otros colector, es más fácil para determinar si tiene o no tiene una estructura compleja?

Answer 1

Creo que la respuesta es simplemente "no". Vamos a considerar un caso específico. Vamos a tomar la base del espacio de $X$ a ser un complejo colector y $(E, \pi, J)$ a ser un (complejo) rango de $k$ vector complejo paquete de más de $X$. Que nos llame a $\pi: E \longrightarrow X$ un holomorphic vector paquete si existe una banalización de la $E$ de manera tal que la transición de las funciones de $$g_{\alpha\beta}: U_\alpha \cap U_\beta \longrightarrow \mathrm{GL}(k, \mathbb{C})$$ of $E$ are holomorphic. One can show that $E$ is a holomorphic vector bundle if and only if there exists a complex manifold structure on the total space $E$ such that the projection $\pi: E \longrightarrow X$ is a holomorphic map. Therefore in the specific case where the base space is a complex manifold and we require that $\pi: E \longrightarrow X$ be holomorphic, we see that the question is equivalent to whether or not a given complex vector bundle over $X$ se puede dar una trivialización con holomorphic de transición de funciones.

Con este punto de vista desarrollado, ahora me traiga a su atención una relevante la discusión sobre MathOverflow. En particular, el papel

• C. Bănică y M. Putinar. En vector complejo bultos en proyectivos threefolds. Inventar. De matemáticas. 88 (1987), 427-438.

se mencionó en la respuesta a los vinculados en el debate demuestra que todo el complejo vector de paquetes a través de una proyectiva 3 veces son holomorphic. Creo que usted estará de acuerdo en que con el trabajo que necesita hacer allí, no es muy "fácil" para demostrar que estos paquetes son de holomorphic. También se menciona en la respuesta es que si todo el complejo bultos en $\mathbb{C}P^n$ son holomorphic es una pregunta abierta para $n \geq 4$. Por lo tanto, podemos ver que, al menos, la determinación de si un vector complejo paquete es holomorphic es en general una pregunta difícil.

Si no exigimos $\pi: E \longrightarrow X$ a ser holomorphic, sólo que $E$ tiene algún estructura compleja, no estoy seguro de cuánto más fácil este problema se hace.