¿Cómo encontrar un límite superior de $f(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{d^{9}(k)}$?

Question

Cómo encontrar un límite superior para

$$f(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{d^{9}(k)}$$

¿donde $d(n)$ es la función divisor?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $d(k) \ge 2^{\omega(k)}$ donde $\omega(k)$ es el número de los distintos factores primos de a $k$. Por lo tanto $$ f(n) \le \sum_{1\le k\le n} \frac1{(2^{\omega(k)})^9} = 1 + \sum_{m=1}^\infty \frac1{512^m} \sum_{\substack{2\le k\le n \\ \omega(k)=m}} 1. $$ Este interior de la suma ha sido bien estudiado: un resultado de Hardy y Ramanujan nos dice que existen constantes positivas $A$ $C$ tal que $$ \sum_{\substack{2\le k\le n \\ \omega(k)=m}} 1 \le \frac{Ax(\log\log x+C)^{m-1}}{(m-1)!\log x}. $$ Por lo tanto \begin{align*} f(n) &\le 1+ \sum_{m=1}^\infty \frac1{512^m} \frac{An(\log\log n+C)^{m-1}}{(m-1)!\log n} \\ &= 1+ \frac{An}{512\log n} \sum_{m=0}^\infty \frac1{512^m} \frac{(\log\log n+C)^m}{m!} \\ &= 1+ \frac{An}{512\log n} e^{(\log\log n+C)/512} \le \frac{Dn}{(\log n)^{511/512}} \end{align*} por alguna constante positiva $D$.

Por otra parte, otros que el valor de la constante de $D$, esta es la mejor obligado posible: uno puede mostrar que la contribución de squarefree enteros con cerca de $(\log\log n)/512$ factores primos es legítimamente de tamaño $n/(\log n)^{511/512}$. Si uno realmente quiere, uno puede obtener una fórmula asintótica invocando el Selberg-Sathe fórmula.

Answer 2

Yo empezaría con el teorema de $$ \sum_{k=1}^n d(n) de Dirichlet = \ln n n + n (2\gamma-1) + O(\sqrt{n}) $$ y use la desigualdad de poder-los medios conseguir lo que deseas.