Operador no-compacto con derivado de compacto

Question

Que $T:X \to Y$ sea un operador no lineal entre los espacios de Hilbert. ¿Es posible $h \mapsto T'(x)[h]$ ser un mapeo compacto de $X$ $Y$ incluso si $T$ no es compacto? Aquí $T'(x)[h]$ es el derivado direccional de $T$ $x$ en la dirección $h$.

¿Si es así, es posible clasificar todos esto $T$?

Answer 1

No sé la respuesta a cómo clasificar todos esto $T$, pero un ejemplo es el siguiente.

Que $X=Y=\ell^2$ $T$ ser la escuadra operador $$ (Tx) _n = x_n ^ 2. $$ Desde $Te_k=e_k$, el operador claramente no es compacto. Sin embargo, es Fréchet diferenciable con el derivado es el operador de multiplicación por $2x$ $$ T'(x) [h] =\begin{bmatrix}x_1 &&&\\&x_2&&\\&&x_3&\\&&&\ddots\end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix}h_1\\h_2\\h_3\\\vdots\end{bmatrix}. $$ Este operador es compacto, porque los truncamientos finitos convergen a él en la norma del operador.