Convergencia de $(1+x^n)^{1/n}$

Question

Tengo la secuencia de funciones de $f_n = (1+x^n)^{1/n}$$0 \leq x < \infty$.

Puedo ver fácilmente que (como $n$ enfoques $\infty$) es pointwise convergentes a$1$$x\leq 1$$x$$x>1$.

Estoy tratando de averiguar si es o no es convergente a estas funciones de manera uniforme o no, el uso del teorema de Dini yo era capaz de mostrar que es casi uniformemente convergente - pero hasta ahora no han sido capaces de establecer una adecuada convergencia uniforme, o su no-existencia.

Mi intuición se inclina hacia ella no uniformemente convergentes, pero no he sido capaz de encontrar una secuencia adecuada a la contradicen.

Agradecería alguna pista.

Un millón de gracias!

Answer 1

Sugerencia: Ver que $f_n(x) - x$ es positivo y disminuye como $x \rightarrow \infty$, cuando $n$ es fijo. Esto le permitirá a uniformemente $|f_n(x) - x|$ en la región $[1, \infty)$.