$\mathbb{Z^2}/\langle(x, y)\rangle$ como una suma directa de Grupo cíclico

Question

Cada $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$, que $\langle(x, y)\rangle$ indican el subgrupo de $\mathbb{Z}^2$ de $(x,y)$. Expresar el $\mathbb{Z}^2/\langle(x, y)\rangle$ como una suma directa de Grupo cíclico.

Nota $\mathbb{Z}^2/\langle(x, y)\rangle$ tiene a más de dos generadores, así $\mathbb{Z}^2/\langle(x, y)\rangle\cong \mathbb{Z}^2$, $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}_n$, $\mathbb{Z}_m\oplus \mathbb{Z}_n$, $ \mathbb{Z}_n$ o $\mathbb{Z}$. Creo que debe ser el segundo caso. Pero no sé cómo descubrirlo. ¿Cualquier sugerencia? Gracias

Answer 1

El producto cíclico de los grupos depende de los valores de $x$ $y$ (a la manera de plantear la cuestión, lo que podría parecer se espera que la respuesta sea independiente de $x$$y$).

En general, cuando se desea comprender un cociente de una buena línea de ataque es utilizar el teorema de isomorfismo (también conocido como el Primer Iso Teorema). Por lo tanto, tratar de encontrar un epimorphism (que es, un surjective homomorphism) $\psi : \mathbb Z^2 \to G$ de manera tal que el núcleo de $\psi$ es, precisamente,$\langle (x,y)\rangle$. Entonces sabrías que el cociente es isomorfo ir $G$. Ahora, dependiendo de los valores de $x$ $y$ optan por el grupo $G$ y el homomorphism $\psi$.

Primero intenten arreglar algunos valores de $x$ $y$ a ver lo que tiene sentido. Luego de hacer el caso general.