Preguntas sobre los cuadrados perfectos

Question

Hace poco hice un examen en el que me hicieron dos preguntas basadas en cuadrados perfectos; aquí están:

$1.$ ¿Cuántos incluso cuadrados perfectos entre $1000$ y $5000$ son divisibles por $5$ y $9$ ?

$2.$ ¿Puede existir un cuadrado perfecto cuyos dígitos estén formados exactamente por $4$ unos, $4$ dos y $4$ ¿Ceros en cualquier orden?

No he hecho mucho sobre cuadrados perfectos, así que era reacio a intentarlos durante los exámenes, aunque como tenía algo de tiempo libre después de terminar las otras preguntas, intenté pensar en el primer problema y me di cuenta de que sólo $3600$ parece satisfacer las condiciones, lo cual es correcto, pero no sé cómo conseguirlo matemáticamente? Y para el segundo problema, no tengo ninguna pista hasta ahora.

Por desgracia, no me han dado ninguna solución para las preguntas, ni ninguna idea sobre cómo resolverlas (matemáticamente)

Answer 1

Para 1) Intente encontrar todos los $k$ tal que

$$ 1000 \leq 2\times 2 \times 5\times 5 \times 9 \times k^2 \leq 5000$$

Para 2)

Cualquier número de este tipo es divisible por $3$ pero no por $9$ (mira la suma de dígitos, que da el resto al dividir por $3$ y $9$ ).

En ambos casos, estamos utilizando el hecho de que si un primo $p$ divide $n^2$ entonces también $p^2$ .

Answer 2

Editar: Me equivoqué al aplicar el método de expulsión de nueves, pero puede que haya parte de mi post original que merezca la pena mantener (con alguna reescritura); en concreto, tengo la impresión de que el OP, quizá otros, pueden ganar algo viendo la aritmética modular básica subyacente a las respuestas que expuse, y cómo se utiliza. Invito a hacer comentarios.

EDITAR Un método utilizado para responder es el de la congruencia; el método más efectivo es el utilizado en otros posts, de utilizar la congruencia mod9; yo ilustraré el método mod10 , por el cual un cuadrado perfecto debe tener un dígito más a la derecha terminado en 0,1,4,5,6,9 . Puedes aplicar/adaptar lo mismo al caso mod9 utilizado por Aryabhat y otros. El defecto de usar mod10 aquí es que no excluye como cuadrados los dígitos que terminan en 0 o 1. Por lo tanto, me limitaré a mostrar h1 y h2. Así que me limitaré a mostrar cómo/por qué podemos utilizar este método descartando los números que terminan en 2 como posibles cuadrados.

Mod10 Otro ejemplo 2 es el siguiente: cuando se trabaja $mod10$ los únicos residuos posibles de un cuadrado son 0,1,4,5,6,9, pero no 2,3 ni 7, y su número con 4 0's 4,1's, y 4 2's será congruente con: $4(1)+4(0)+4(2)=2 mod10$

Para una prueba rápida de este último hecho:

$0^2$ es 0(mod10)

$1^2$ es 1(mod10)

$2^2$ es 4(mod10)

$3^2$ es 9(mod10)

$4^2$ es 6(mod10)

$5^2$ es 5(mod10)

y 6,7,8,9, son respectivamente 6,9, 4, 1 mod 10.

Y si k>10 , entonces escribe k=10c+a , con a<10, por ejemplo, 357=35(10)+7 , entonces:

$(10c+a)^2=100c^2+2(10)+a^2 $ es $a^2 mod 10$ pero el caso de a ya se ha tratado.

Answer 3

Respuesta a la pregunta 1 es: Sólo un cuadrado perfecto, es decir, 3600. Aquí tenemos que encontrar cuadrados perfectos divisibles por 4x9x25=900.

Respuesta a la pregunta 2 es: No. Porque tomando la raíz cuadrada de los números de 12 dígitos más bajos y más altos obtenemos 317200 y 1000000, lo que significa que no podemos empezar con un número digamos 1012. Por lo tanto No.