No conmutativa racional homotopy tipo

Question

Ok, esta pregunta es mucho menos ambicioso de lo que pueda parecer, pero aún así:

Dos conmutativa diferencial graduada álgebras (cdga) son cuasi-isomorfos si pueden ser conectados por una cadena de cdga cuasi-isomorphisms. No hay una definición similar para no necesariamente conmutativo diferencial graduada álgebras (dga).

1. Si dos $\mathbf{Q}$-cdga, $A$$B$, son cuasi-isomorfo como la dga, son necesariamente cuasi-isomorfo como cdga? Sospecho que la respuesta es no, pero no conozco a ningún ejemplos de lo contrario, tampoco se puede demostrar que tales ejemplos de lo contrario existe.

2. Misma pregunta 1 cuando $A$ $B$ son Sullivan $\mathbf{Q}$-polinomio cochain álgebras de simplemente conectado compacto poliedros. En otras palabras, es el "racional no conmutativa homotopy tipo" compacto simplemente conectado poliedros el mismo que el de costumbre racional homotopy tipo?

Answer 1

Creo que la respuesta a la pregunta 1 es "Sí". He aquí por qué:

Arreglar un campo k de característica 0 (se le preguntó acerca de k = Q).

Vamos a C y D ser graduado (-) conmutativa de la DG k-álgebras. Entonces existe un no conmutativa cuasi-isomorfismo de C a D iff existe una $A_{\infty}$ Cuasi-iso $F:C \to D$. (De hecho, más es cierto---hay una correspondencia uno a uno entre clases de equivalencia de no conmutativa cuasi-iso y de clases de equivalencia de a $A_\infty$ morfismos.)

Puesto que existe una conmutativa cuasi-isomorfismo de C a D iff existe un $C_{\infty}$ cuasi-iso $G: C \to D$, su pregunta puede reformularse de la siguiente manera: "Supongamos que C,D son propiedad conmutativa de la DG k-álgebras, y $F: C \to D$ $A_{\infty}$ mapa. ¿Esto implica la existencia de una $C_{\infty}$ mapa?"

Podemos describir a $A_{\infty}, C_{\infty}$ mapas de la siguiente manera: para la dga A, podemos considerar el cofree (conilpotent) coalgebra $T^c(A)$, y se observa que la dga de la estructura de los mapas de $d: A \to A, \cdot: A \otimes A \to A$ definir un mapa de $T^c(A) \to A$ por proyectando $A \oplus (A \otimes A)$ y, a continuación, haciendo $d$ en el primer factor y $\cdot$ en el segundo. Este mapa se puede extender como un coderivation $D_A:T^c(A) \to T^c(A)$, y la pretensión es que el $D_A^2 = 0.$ $A_{\infty}$ mapa de $F:A \to B$ es por definición un dg-coalgebra mapa de $F:(T^c(A), D_A) \to (T^c(B), D_B)$. Del mismo modo, un conmutativa de la dga da lugar a un cofree cocommutative dg coalgebra, el uso de $S^c$, e $C_{\infty}$ morfismos son dg-coalgebra mapas entre estos. Una $C_{\infty}$ mapa es en realidad un $A_{\infty}$ mapa con algunas de las propiedades de simetría (desde $S^c \hookrightarrow T^c$).

He aquí un primer paso en el argumento de "signos" que puede symmetrize la $A_{\infty}$ mapa F.

Para obtener un $C_{\infty}$ mapa de F, escribir $F = f + f_2 + f_3 + \cdots$ donde $f_n : C^{\otimes n} \to D$. Entonces la condición de que $F$ $A_{\infty}$ morfismos da $(df_2)(x,y) = f(x) \cdot_{D} f(y) \pm f(x \cdot_{C} y)$ donde $df_2$ debe ser entendido como el diferencial en el Hom compleja $Hom(C^{\otimes 2}, D)$. Desde los productos C y D son conmutativas, obtenemos: $(df_2)(x,y) = f(x) \cdot_{D} f(y) \pm f(x \cdot_{C} y) = \pm f(y) \cdot_D f(x) \pm f(y \cdot_C x) = (df_2)(y,x)$ así que podemos ver que, al menos, $(df_2)$ se clasifica simétrica. Desde k tiene características de 0, podemos definir

$g_2 := \frac{1}{2} \left( f_2 + f_2^{op} \right)$

y ya

$(dg_2) = \frac{1}{2} d \left( f_2 + f_2^{op} \right) = \frac{1}{2} \left( df_2 + d(f_2^{op}) = \frac{1}{2}( df_2 \pm (df_2)^{op} ) = (df_2) \right)$

vemos que $dg_2$ todavía proporciona el homotopy entre el$f( \cdot_C )$$f( ) \cdot f( )$.

Creo que un argumento a lo largo de estas líneas también proporcionar una adecuada $g_n$$n \geq 3$.

Me pregunto si alguien puede proporcionar un "resumen tonterías" que de respuesta a lo largo de las siguientes líneas: el functor i: Conmutativa DGAs \begin{eqnarray}Proof:\quad c(x-cx) &=&\rm 0\:\Rightarrow\: (x-cx)c = 0\ \ by\ (1),\ \ so\ \ \color{#C00}{xc} = cxc\\ \rm (x-xc)c &=&\rm 0\:\Rightarrow\: c(x-xc) = 0\ \ by\ (1),\ \ so\ \ \color{#C00}{cx} = cxc\end> no conmutativa DGAs ha dejado adjunto que conserva cuasi-iso (no abelianization preservar los mapas de la inducción de la isomorphisms en la Homología?), y así podemos comprobar que la imagen de la Conmutativa DGAs (no conmutativa DGAs)$[W^{-1}]$ tiene la característica universal que una localización (Conmutativa DGAs)$[W^{-1}]$ debe tener... (Donde $W$ anterior debe ser tomado a la colección de mapas de la inducción de la iso en la homología en cada categoría).

Answer 2

Puedo decir que si a y B son conmutativas DGAs sobre Q, que son conectivo (su homología de grupos son cero en grados negativos, el uso de homológica de clasificación), entonces a y B son equivalentes. La única prueba que se me ocurre es Postnikov de un argumento basado en el Hochschild-Kostant-Rosenberg teorema.

Es decir, vamos a P_na y P_nB Postnikov etapas, las cuales tienen la misma homología como a y B, respectivamente, en los grados inferiores o iguales que n y por encima de cero; se pueden construir estos mediante la adición de nuevos polinomio de generadores de a y B con los diferenciales que borrar mayor homología clases. Se asume que ya ha construido una equivalencia de P_na a P_nB.

Entonces P_n+1a y P_n+1B se clasifican por su próximo k-invariantes. En el asociativa caso se trata de un elemento en el Hochschild cohomology de P_ncon coeficientes en un cambio del módulo M = H_n+1Un = H_n+1B, y lo mismo para B. En la conmutativa caso se trata de un elemento en el Andre-Quillen cohomology lugar. Estos son clasificados por los mapas de la homología de Hochschild (estrictamente hablando, su aumento a lo ideal) y Andre-Quillen homología (un cambio de la derivada de Kahler diferenciales) para este cambio de M.

Ya estamos en característica cero, el HKR teorema nos dice que la homología de Hochschild es el (derivados) gratis clasificados-álgebra conmutativa sobre P_na en la Andre-Quillen homología. En particular, hay una retracción hacia abajo. Esto implica que la recopilación de posibles conmutativo k-invariantes de la construcción de una extensión de la P_nUn M es un subconjunto de los posibles asociativa k-invariantes.

Como resultado, si P_n+1a y P_n+1B tiene un fijo de equivalencia como álgebras asociativas, lo que implica que su asociativa k-invariantes son iguales. De ahí que su conmutativo k-invariantes son iguales, por lo que esto nos permite levantar a una equivalencia de álgebras conmutativas.

Este es un truco problema. El hecho de que necesitaba para asumir la conectividad de este argumento es bastante molesto, y no estoy seguro de si se trata de material o simplemente un error de mi parte para conseguir algo general. Tal vez alguien lo puede hacer mejor.

AÑADIDO POSTERIOR: yo creo que el mismo argumento funciona en el coconnective caso bajo añadido hipótesis (por ejemplo, el álgebra de ser simplemente conectado, tener solo Q en el grado 0 y 0 en grado 1). Desafortunadamente, usted no puede construir Postnikov etapas bastante facilidad general cochain álgebras.

Por ejemplo, dejar que Un ser de la propiedad conmutativa de la DGA Q[x,y,s,t] ⊗ Λ[w], libre el álgebra en los generadores de x,y,s,t en grado cero y z en (cohomological) grado 1, satisfaciendo dx = dy = dw = 0, ds = xw, dt = wy. Entonces no es un producto Massey <x,w,y> = sy - xt en cohomology grado 0, lo que es distinto de cero, y cualquier mapa de la a a la una de la DGA, que tiene cero cohomology en positivo grados necesariamente debe enviar w a cero, y por lo tanto también este Massey producto.

Tengo la vaga sensación de que en esto simplemente conectado caso (y también en el conectivo caso) podría ser mucho menos argumento que implican un mínimo de modelos.

Answer 3

Hasta donde yo sé positivamente gradual conectado y simplemente se conecta complejos con diferencial de grado $+1$, incluso en el carácter $0$ (correspondiente a la racional homotopy la teoría del caso), este es un problema abierto.

Así que sería bueno tener un trabajo publicado que se asienta.

Answer 4

Creo que la respuesta para la primera pregunta es "sí". No estoy de acuerdo con el Joey argumento porque utiliza una definición incorrecta de $Comm_\infty$ morfismos. Permítanme recordar la definición correcta primero. Un $Comm_\infty$ álgebra $C$ es un coderivation $Q$ tal que $Q^2=0$ en cofree MENTIRA coalgebra co-generado por $C[1]$. Por lo tanto, deben ser libres de la Mentira coalgebra, no CONMUTATIVA. Ahora un $Comm_\infty$ morfismos es sólo un mapa de de las dos cofree Mentira coalgebras que conmutan con a $Q$. Es una quis si es, además, un quis de los complejos.

Bien, ahora supongamos que $C$ $D$ son dos cdga colocar en cualquiera de los grados. Si se $A_\infty$ quis, significa que hay un mapa de cofree dg coalgebra co-generado por $C[1]$ para el mismo tipo co-generado por $D[1]$. Este es un mapa de coalgebras, a continuación, se define un mapa entre sus elementos primitivos.

(Recordar $x$ es primitivo iff $\Delta x=1\otimes x+x\otimes 1$). Apriori esto le da un mapa de la libre Mentira coalgebras, pero NO la dg Mentira coalgebras. Por otra parte, si $C$ $D$ sería no-conmutativa, los elementos primitivos no sería cerrada en el diferencial. Pero si $C$ $D$ son conmutativas, los mapas de la Mentira coalgebras de elementos primitivos es un mapa de la dg Mentira coalgebras.

Es sólo queda señalar que este mapa de la dg Mentira coalgebras es quis; entonces es, por definición, un $Comm_\infty$ quis mapa. Pero esto fácilmente de la siguiente manera a partir de la AFP teorema. El tensor de la coalgebra como un espacio vectorial es el symmetyric (co)el álgebra de la libre Mentira coalgebra. Si el mapa de la Mentira coalgebras no sería una quis, el mapa correspondiente de su simétrica poderes también no sería una quis. Esto estaría en contradicción con que el mapa inicial fue una $A_\infty$ quis.

Hemos terminado.

Answer 5

Este es un intento de reformular algunos de Joey respuesta y también para agregar en la mayor de las operaciones requeridas.

Supongamos que tenemos dos cdgas a y C y que están conectados por una $A_\infty$ morfismos. Este es codificado como un mapa de $BA$, la asociativa de la barra de la construcción de la a a la C. A $C_\infty$ morfismos es codificada por un morfismos de la propiedad conmutativa de la barra de la construcción, $B_cA$, esto toma la forma de un cuasi-libre colie álgebra en A. Hay una transformación natural de la libre coassociative álgebra functor a la libre colie álgebra functor y esto coincide con una transformación natural de la asociativo para conmutativa de la barra de functor. Esta es por supuesto la dirección equivocada, la transformación natural dice que "cada $C_\infty$ morfismos es una $A_\infty$ morfismos".

Para ir a otro lado podemos observar que los mapas de $BA\rightarrow B_cA$ split. Yo no ofrecen una prueba aquí, pero la prueba pasa por la construcción de ciertos idempotents, es conocida como la descomposición de Hodge de la barra de complejo de un álgebra conmutativa. Ahora tenemos la composición

$B_cA\rightarrow BA \rightarrow C$

que es nuestra $C_\infty$ morfismos. Advertencia El $A_\infty$ morfismos podemos sacar de todo esto $C_\infty$ morfismos no es necesariamente el que empezamos, nos hemos despojado de todas las "cosas" que viene de otras partes de Hodge de filtración.

Finalmente, me gustaría añadir que su intuición era ampliamente derecho, habrá ejemplos de no char 0 casos en los que la respuesta a su pregunta será "no".