Cómo lidiar con un Pell ' problema de tipo de ecuación de s con dos primos

Question

Tengo cierta comprensión de la ecuación de $$x^2-dy^2=1$$ where $d$ is a prime. I know that you can take the continued fraction of $\sqrt{d}$ and use information about the period and convergents to find things out. Now I need to show that if $p,q$ are primes $\equiv 3 \pmod{4}$ then at least one of the equations $$px^2-qy^2=\pm 1$$ is soluble in integers $x,y$. I have not learned what to do when there is a prime in front of the $x^2$ de Pell. ¿Cómo debo comenzar a hacer esto?

Answer 1

Usted tiene una primitiva solución a $x^2-pqy^2=1$ ($x$, $y$ positivo, $y$ mínimo). A continuación, $x$ es impar y $y$ es incluso (creo modulo $4$). También $$x^2-1=(x+1)(x-1)=pqy^2$$ así que $$\frac{x+1}2\frac{x-1}2=pq\left(\frac{y}{2}\right)^2.$$ Como $(x\pm 1)/2$ son coprime enteros, a continuación, tenemos a uno de los siguientes

1. $(x+1)/2=u^2$, $(x-1)/2=pqv^2$

2. $(x+1)/2=pu^2$, $(x-1)/2=qv^2$

3. $(x+1)/2=qu^2$, $(x-1)/2=pv^2$

4. $(x+1)/2=pqu^2$, $(x-1)/2=v^2$

Tenemos éxito con (2) y (3) (escriba $1=(x+1)/2-(x-1)/2$). Eliminamos (1) por minimality a la solución de Pell y (4) $v^2-pqu^2=-1$ que es imposible modulo $p$.