Evaluar $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$

Question

Estoy tratando de evaluar $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Sé $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

y $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

El tratamiento de la $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ $\cos[(\alpha+\beta)+\gamma]$

significa que puedo escribir $\cos(\alpha+\beta+\gamma) = \cos(\alpha +\beta) \cos\gamma - \sin(\alpha+\beta)\sin\gamma$

Tomando el $\cos(\alpha +\beta) \cos\gamma$ primera parte: $\cos(\alpha +\beta) \cos\gamma= \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma -\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma$

y aquí es la parte donde estoy luchando con la obtención de los signos correctos:

$- \sin(\alpha+\beta)\sin\gamma = -\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma - \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$

Para dar a $\cos(\alpha+\beta+\gamma) = \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma -\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma - \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$

Estoy realmente seguro de que tengo a mi los signos correctos.

Answer 1

Un toque en su fórmula a favor es que si nos permutar las variables, $\alpha,\beta,\gamma$, se obtiene la misma fórmula. Por lo tanto, es necesario que si el coeficiente de $\sin\alpha \sin\beta\cos \gamma$$-1$, y luego los otros dos términos con dos $\sin$s en ellos también tendrían que tener los coeficientes de $-1$.

Una regla general es que, si usted está preocupado acerca de los signos, consulte con ejemplos específicos.

¿Qué sucede cuando $\beta=-\alpha$? Entonces la fórmula sería:

$$\cos\alpha\cos(-\alpha)\cos\gamma\sin\alpha\sin(-\alpha)\cos\gamma\sin\alpha\cos(-\alpha)\sin\gamma \cos\alpha\sin(-\alpha)\sin\gamma =\\ \cos\gamma(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - \sin\alpha\cos\alpha\sin\gamma + \cos\alpha\sin\alpha\sin\gamma\\ = \cos \gamma = \cos(\alpha+\beta+\gamma)$$

¿qué sucede cuando $\alpha=\beta=45^\circ$? a continuación,$\cos(\alpha+\beta+\gamma)=-\sin\gamma$.

Desde $\sin\alpha=\sin\beta=\cos\alpha=\cos\beta=\sqrt{\frac{1}{2}}$, usted puede conectar y comprobar de nuevo:

$$\frac{1}{2}\cos\gamma - \frac{1}{2}\cos\gamma -\frac{1}{2}\sin\gamma -\frac{1}{2}\sin\gamma = -\sin\gamma$$

Al llegar a los números complejos, verás una elegante forma de "ver" esta es la fórmula correcta. La fórmula para $\cos(\alpha+\beta+\gamma+\dots)$, en general, tienen un número par de $\sin$ expresiones, y el coeficiente de cada término se $1$ si no es un múltiplo de $4$ $\sin$ términos y $-1$ si no no.