$\mathbb R$ es incontable

Question

Estoy tratando de demostrar que los números reales son innumerables utilizando dos simples hechos que ya he probado:

Hecho 1

No hay ninguna surjection $f:\mathbb N\to P(\mathbb N)$

Hecho 2

Existe una función inyectiva $g:P(\mathbb N)\to \mathbb R$.

Me gustaría saber si con sólo estos hechos me puede deducir que los reales no son numerables.

Gracias de antemano

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A raíz de los comentarios, puedo decir que la afirmación es verdadera porque de $\mathbb N\lt P(\mathbb N)\le \mathbb R$, donde la primera desigualdad viene de hecho 1 y la segunda desigualdad proviene del hecho 2.

Answer 1

Supongamos que existe un bijection $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, y deje $g : P(\mathbb{N}) \rightarrow \mathbb{R}$ ser un inyectiva mapa. Elija una izquierda inversa de a $g$, decir $h : S \rightarrow P(\mathbb{N})$ donde $S \subset \mathbb{R}$. A continuación, tenemos una surjective mapa de $h \circ \varphi : T \rightarrow P(\mathbb{N})$, donde $T \subset \mathbb{N}$, $T = \varphi^{-1}(S)$, una contradicción.

Answer 2

Sí, los dos hechos son suficientes.

Se puede demostrar que para cualquier par de conjuntos de $A$$B$, existe una inyección de $A\hookrightarrow B$ si y sólo si hay un surjection $B\twoheadrightarrow A$. También puede probar (el Cantor-Bernstein-Schroeder teorema) que si hay inyectiva mapas de $A\hookrightarrow B$$B\hookrightarrow A$, entonces no es un bijection $A\leftrightarrow B$. A partir de esto, se puede utilizar la existencia de una inyección de $A\hookrightarrow B$ definir $|A|\le|B|$, $|A|=|B|$ si $|A|\le|B|$ $|B|\le|A|$ (es decir, si hay un bijection entre ellos), y se definen $|A|<|B|$ $|A|\le|B|$ pero no $|A|=|B|$.

Finalmente, para cualquiera de los dos conjuntos de $A$$B$, siempre se puede encontrar una inyección de $A\hookrightarrow B$ o $B\hookrightarrow A$.

Por lo tanto, sus dos hechos significa que $|\mathbb{N}|<|P(\mathbb{N})|$$|P(\mathbb{N})|\le|\mathbb{R}|$.

Answer 3

La proposición: $\mathbb{R}$ es incontable.

Prueba: Vamos a definir el mapa de $f: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{R}$ por la fórmula $f(A):= \sum_{n\in A}10^{-n}$. Tenga en cuenta que el mapa está bien-definir desde $\sum_{n=0}^\infty 10^{-n}$ es absolutamente convergente.

Vamos a mostrar que el $f$ es uno-a-uno. Supongamos que al contrario, que existe $A, B \in \mathcal{P}(\mathbb{N}) $ tal que $f(A)=f(B)$ pero $A \not=B$. Entonces el conjunto $(A\setminus B )\cup (B\setminus A)$ no está vacía. Deje $n_0$ ser el menor elemento y en aras de la claridad asumir que $n_0 \in A\setminus B $. Así tenemos

\begin{align}0=f(A)-f(B)=\sum_{n\in A}10^{-n}-\sum_{n\in B}10^{-n}=\sum_{n\in A:n<n_0}10^{-n}+10^{-n_0}+\sum_{n\in A:n>n_0}10^{-n}\\-\sum_{n\in B:n<n_0}10^{-n}-\sum_{n\in B:n>n_0}10^{-n}\\ =10^{-n_0}+\sum_{n\in A:n>n_0}-\sum_{n\in B:n>n_0}10^{-n}\\ \ge 10^{-n_0}-\sum_{n>n_0}10^{-n}\\ =10^{-n_0}-\frac{10^{-n_0}}{9}>0 \end{align}

una contradicción. Por lo tanto $f$ es una inyección.

A continuación,$\mathcal{P}(\mathbb{N})\simeq f(\mathcal{P}(\mathbb{N}))$, es decir, $f(\mathcal{P}(\mathbb{N}))$ tiene la misma cardinalidad como $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y por el Cantor del teorema $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ es incontable. Desde $f(\mathcal{P}(\mathbb{N}))$ es un subconjunto de a$\mathbb{R}$, esto obliga a $\mathbb{R}$ a ser innumerables.