Muy buena observación. La prueba es un poco larga, aquí les presento un boceto. Para más detalles, véase el Capítulo 6 en Irlanda-Rosen "Un clásico de introducción a la moderna teoría de números".
Deje $p$ ser un extraño prime, y el conjunto de $\zeta=e^{2\pi i/p}$, por lo que los poderes de la $\zeta$ $p$- th raíces de la unidad. La relevancia radica en el hecho de que $\sin(2 \pi k/p)$ es la parte imaginaria de $\zeta^k$.
La suma de Gauss $g_a$ está definido por
$$ g_a =\sum_{k=1}^{p-1}\left(\frac{k}{p}\right)\zeta^{ak}, $$
donde $\displaystyle \left(\frac{k}p\right)$ es el símbolo de Legendre: $0$ si $p\mid k$, $1$ si $k$ es un cuadrado modulo $p$, e $-1$ lo contrario.
Se puede comprobar que $g_a=0$ si $p\mid a$, e $g_a=\displaystyle\left(\frac{a}p\right)g_1$ lo contrario. De todos modos, usted está interesado en $g_1$ (o más bien, su parte imaginaria).
Se comienza por verificar que $g_1^2=(-1)^{(p-1)/2}p$. Esto no es malo. La forma estándar de comprobación de esto es agregar $\sum_{k=1}^{p-1}g_kg_{-k}$ en dos formas diferentes.
Si $p\equiv 3\pmod 4$, esto significa que $g_1=\pm i\sqrt p$. Ignorando el signo, el resultado que sigue, ya $-1$ no es un cuadrado modulo $p$, por lo que
$$ \left(\frac kp\right)\sin\left(\frac{2\pi k}p\right)=\left(\frac {p-k}p\right)\sin\left(\frac{2\pi (p-k)}p\right) $$
para todos los $k$, y la suma de los primeros a $(p-1)/2$ términos en $g_1$ es igual a la suma de la otra mitad.
La dificultad radica en la verificación de la señal es $+1$ en lugar de $-1$. Este hecho dio Gauss, mucho trabajo (se encuentra $g_1^2$ en 1801, y $g_1$ en el año de 1805). No sé de ningún rápida argumento, pero la prueba en la sección 6.4 de la Irlanda-Rosen libro es bastante elegante. Otro libro que presenta una buena prueba de ello es Nathanson "Elementary métodos en la teoría de los números". Por lo que vale la pena, creo que la notación en Irlanda-Rosen es un poco más fácil de seguir si usted no tiene experiencia previa con sumas de Gauss. (Si usted tiene experiencia con el contorno de la integración, sin embargo, otra prueba se describe en los ejercicios en Berenstein-Gay "variables Complejas: Una introducción".)
Utilizando el valor de $g_1^2$, Gauss encontró una muy inteligente (Fourier teórica, podríamos decir) la prueba de la reciprocidad cuadrática. La integridad, permítanme añadir que para$p\equiv 1\pmod4$,$g_1=\sqrt p$.
Noam Elkies ha publicado en MO una persona muy inteligente argumento (que se remonta a Schur) para la evaluación de la $g_1$ por el uso de álgebra lineal.
