Problema de sistema de ecuaciones de números complejos con 5 variables

Question

Dejemos que $z_0$ , $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ y $z_4$ tal que $z_i\in C$ que se mantienen:

$$(1)|z_0|=|z_1|=|z_2|=|z_3|=|z_4|=1$$

$$(2)z_0+z_1+z_2+z_3+z_4=0$$ $$(3) z_0z_1+ z_1z_2+z_2z_3+z_3z_4+z_4z_0=0$$

Demostrar que las soluciones $z_i$ de esta ecuación se encuentran en las esquinas del pentágono regular.

He probado con la inserción de números complejos con la propiedad de que $z_i=1\angle \phi_i$ con $\phi_i=i 360^°/5$ y $i\in\{0,1,2,3,4\}$

Me interesa saber si debo usar $z_i=1\angle ( \phi_i+\alpha)$ con $\alpha \in \{0,2\pi\}$

$$1\angle (\alpha)+ 1\angle ( \phi+\alpha)+ 1\angle ( 2\phi+\alpha)+ 1\angle ( 3\phi+\alpha)+ 1\angle ( 4\phi+\alpha)=0$$

$$ 1\angle (\phi+\alpha)+ 1\angle ( 3\phi+\alpha)+1\angle ( 5\phi+\alpha) +1\angle ( 7\phi+\alpha)+1\angle ( 4\phi+\alpha)=0$$

Answer 1

Definamos $a,b,c,d$ de la siguiente manera: $$ a=\frac{z_0}{z_4},~b=\frac{z_1}{z_4},~c=\frac{z_2}{z_4},~d=\frac{z_3}{z_4}. $$ Las ecuaciones propuestas son equivalentes a las ecuaciones $$ |a|=|b|=|c|=|d|=1\tag{1} $$ $$ a+b+c+d=-1\tag{2} $$ $$ a b+b c+ c d+ d+a=0\tag{3} $$ Las ecuaciones $(2)$ y $(3)$ puede escribirse de la forma $$ \left\{\eqalign{\phantom{(1+b)}a + \phantom{(1+c)}d&\,=\,-c-b-1 \cr (1+b)a + (1+c)d&\,=\,-bc }\right.\tag{4} $$ Consideremos dos casos:

• $b=c$ en este caso la sustitución de la primera ecuación en $(4)$ en el segundo se obtiene $ (1+b)(1+2b)= b^2$ o de forma equivalente $b^2+3b+1=0$ lo cual es absurdo ya que esta ecuación tiene sólo raíces reales de valor absoluto diferentes de $1$ en contradicción con $(1)$ .
• $b\ne c$ Aquí el sistema $(4)$ puede resolverse con respecto a $a$ y $d$ y obtenemos $$ a=\frac{b+(c+1)^2}{b-c},\qquad d=\frac{(b+1)^2+c}{c-b}.\tag{5} $$

Observando que $\overline{b}=1/b$ y $\overline{c}=1/c$ concluimos que $(5)$ que también tenemos $$ \overline{a}=\frac{b (c+1)^2+c^2}{c (c-b)},\qquad \overline{d}=\frac{ b^2 + (1 + b)^2 c}{b (b - c)}.\tag{6} $$ Ahora la ecuación $a\overline{a}=|a|^2=1$ se convierte en $$ \left(\frac{b+(c+1)^2}{b-c}\right)\left(\frac{b (c+1)^2+c^2}{c (c-b)}\right)=1\,, $$ lo que equivale a $ (c^2+3c+1)(b^2+b(c^2+c+1)+c^2)=0 $ , pero $c^2+3c+1\ne0$ desde $|c|=1$ Por lo tanto $$b^2+b(c^2+c+1)+c^2=0\,.\tag{7}$$ De forma similar, la ecuación $d\overline{d}=|d|^2=1$ se convierte en $$ \left(\frac{(b+1)^2+c}{c-b}\right)\left(\frac{ b^2 + (1 + b)^2 c}{b (b - c)}\right)=1\,, $$ lo que equivale a $ (b^2+3b+1)(c^2+c(b^2+b+1)+b^2)=0 $ . Así que, $$c^2+c(b^2+b+1)+b^2=0\,.\tag{8}$$ Restando $(8)$ y $(7)$ rinde $(bc-1)(c-b)=0$ pero hemos visto que $c\ne b$ Así que debemos tener $cb=1$ o de forma equivalente $$c =\frac{1}{b}=\overline{b}\,.\tag{9}$$ Reemplazar de nuevo en $(7)$ obtenemos $b^2+c+1+b+c^2=0$ o de forma equivalente $$b^4+b^3+b^2+b+1=0\,.$$ Así, $b$ es una quinta raíz de $1$ diferente de $1$ Es decir $$b\in\{\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4\}\quad\hbox{ where $ \omega=exp \left(\frac{2\pi i}{5}\right)\N-, $.}$$ De ello se desprende que $c=b^{-1}=b^4$ y $c^2=b^8=b^3$ .

Desde $(5)$ concluimos que $$\eqalign{ a&\,=\,\frac{b+b^3+2b^4+1}{b-b^4}\,=\,\frac{b^4\!-b^2}{b-b^4}\,=\,b^3\,,\cr d&\,=\,b^2\,,}$$ donde utilizamos las identidades $1+b+b^2+ b^3+b^4=0$ y $b^5=1$ . Obtenemos la solución $(z_0,z_1,z_2,z_3,z_4)$ con $$ z_0=b^3z_4\,,~z_1=b z_4\,,~z_2=b^4 z_4\,,~z_3=b^2 z_4\,, $$ que son los vértices de un pentágono regular en algún orden, (Un pentágono regular, o una estrella pentagonal regular).

Answer 2

Puedo ofrecer una solución exitosa, obtenida por medio de trampas (le pasé la pregunta a Mathematica, que rápidamente regurgitó la respuesta), y un intento de solución respetable que fracasó (hasta ahora).

Las ecuaciones $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ son invariantes bajo rotaciones del plano de los números complejos alrededor del origen, y así es la conclusión, por lo que podemos suponer que $z_0=1$ (esto equivale a la introducción de las nuevas incógnitas $a$ , $b$ , $c$ , $d$ en la respuesta de Omran Kouba). Escribir $z_1=x_1+iy_1$ etc, obtenemos ocho ecuaciones en ocho incógnitas reales $x_1$ , $y_1$ , $\ldots$ , $x_4$ , $y_4$ , dos de ellos lineales y los seis restantes cuadráticos. Mathematica ha devuelto cuatro soluciones; dos de ellas son

$\qquad\qquad$$\qquad\qquad$

y los conjugados complejos (imágenes especulares a través del eje real) de estos dos son las otras dos soluciones. La misma respuesta fue dada por Omran Kouba. Lo interesante es que no sólo son las $z_k$ 's los vértices del pentágono regular, sólo pueden serlo de cuatro maneras de las veinticuatro posibles.

Algunas palabras sobre el intento fallido. El $z_k$ (antes de la normalización $z_0=1$ ) son las cinco raíces de la ecuación $z^5+s_2z^3-s_3z^2+s_4z-s_5=0$ , donde $s_1=0$ , $s_2$ , $s_3$ , $s_4$ , $s_5$ son los polinomios simétricos elementales en $z_k$ 's. Debido a $|z_0|=\cdots=|z_4|=1$ sabemos que $|s_5|=1$ y también sabemos que $s_2'=z_0z_1+z_1z_2+\cdots+z_4z_0$ , que es "la mitad $\mspace{1mu}$ la expresión para $s_2$ es $0$ . Intenté derivar de $z_0\overline{z}_0=\cdots=z_4\overline{z}_4=1$ , $s_1=0$ y $s_2'=0$ que $s_2''=z_0z_2+z_1z_3+\cdots+z_4z_1=0$ , y que entonces también $s_3=s_4=0$ . Escribir $s_5=v^5$ para un adecuado $v$ con $|v|=1$ Esto nos daría $$ \{z_0,z_1,z_2,z_3,z_4\}\:=\:\{v,v\omega,v\omega^2,v\omega^3,v\omega^4\}~,\tag{A} $$ donde $\omega=\exp(2\pi i/5)$ . Después de producir unas cuantas páginas de fórmulas desordenadas desistí de este intento inútil. Metí la idea en una oscura cámara subterránea de mi mente matemática, donde tendrá la oportunidad de mutar, dado el tiempo suficiente, en algo que realmente funcione.

Continúa. $~$ La condición $(1)$ significa que $\overline{z}_k=z_k^{-1}$ para $0\leq k\leq4$ . Las otras dos condiciones son $(2)$ $s_1=0$ y $(3)$ $s_2'=0$ . Conjugando $s_1=0$ y multiplicando por $s_5$ obtenemos $s_4=0$ .

Supongamos, por un momento, que en lugar de $(3)$ tenemos la condición $s_2=0$ . Conjugando esto, y luego multiplicando por $s_5$ obtenemos $s_3=0$ , y hemos terminado, ya que tenemos $\text{(A)}$ . En este caso $z_0$ , $z_1$ , $\ldots$ , $z_4$ son vértices de un pentágono regular en cualquiera de los $24$ posibles disposiciones cíclicas.

La condición $s_2'=0$ es más fuerte que $s_2=0$ , ya que implica que $z_k^2=z_{k-1}z_{k+1}=z_{k-2}z_{k+2}$ et $z_k^2+z_{k+1}z_{k+2}+z_{k-1}z_{k-2}+z_{k+1}z_{k-2}+z_{k-1}z_{k+2}=0$ para todos $k\,$ (los índices son números enteros, módulo $5$ ).