¿Alguien puede decirme un ejemplo de conexión de un espacio topológico que cada secuencia convergente en este espacio es constante (después de un número finito de términos)?
thnks!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Cualquier innumerables espacio de $X$ con el cocountable topología debe hacer.
Obviamente, este espacio no puede ser escrito como un discontinuo de la unión de dos adecuada cerrado (es decir, contables) de los subconjuntos.
Por otro lado, si $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ es una convergencia de la secuencia en $X$ con límite de $x ∈ X$, entonces se tiene para finalmente llegar al abierto de vecindad $U = X\setminus\{x_n;\; n ∈ ℕ, x_n ≠ x\}$$x$$X$, por lo que a partir de entonces, tiene que ser constantemente $x$ (el único $x_n$ permitido en $U$ son los que satisfacer $x_n = x$).
Por lo que cualquier secuencia convergente finalmente es constante.
Este espacio no es Hausdorff!
user27515
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Deje $\mathcal{O}_{\text{e}}$ denotar la costumbre de la topología Euclidiana sobre $\mathbb{R}$, y de considerar a la familia $$\mathcal{B} := \{ U \setminus A : U \in \mathcal{O}_{\text{e}} , A \subseteq \mathbb{R}\text{ is countable} \}.$$ Then $\mathcal{B}$ is a base for a topology on $\mathbb{R}$, que es más fina que la topología usual. (En la secuela, a menos que se indique lo contrario, topológica de la terminología (por ejemplo, bloques abiertos, conjuntos cerrados) se refieren a esta nueva topología.)
Conectado. Supongamos que $U,V$ son disjuntos no vacíos abrir los subconjuntos que cubren $\mathbb{R}$. Tenga en cuenta que podemos escribir $$U = \bigcup_{i \in I} ( U_i \setminus A_i ); \quad V = \bigcup_{i \in I} ( V_i \setminus B_i )$$ where each $U_i, V_j$ is open in the Euclidean topology, and each $A_i, B_j$ is countable. It follows that $U^\prime = \bigcup_{i \in I} U_i$ and $V^\prime = \bigcup_{j \J} V_j$ are nonempty open subsets of $\mathbb{R}$ in the Euclidean topology, and $U^\prime \taza de V^\prime = \mathbb{R}$. As $\mathbb{R}$ is connected in the Euclidean topology, then $U^\prime \cap V^\prime \neq \varnothing$. Pick $i \I$, $j \J$ such that $U_i \cap V_j \neq \varnothing$. Since $U$ and $V$ are disjoint, it follows for each $x \in U_i \cap V_j$ that either $x \in A_i$ or $x \in B_j$. But then one of $A_i$ or $B_j$ es incontable, lo cual es una contradicción!
No triviales secuencias convergentes. Supongamos que $\langle x_n \rangle_{n \in \mathbb{N}}$ es un uno-a-uno de la secuencia en $\mathbb{R}$. Tenga en cuenta que $\mathbb{R} \setminus \{ x_n : n \in \mathbb{R} \}$ es un conjunto abierto que contiene a ningún miembro de la secuencia, y así que la secuencia no convergen a un punto en este conjunto. Para $m \in \mathbb{N}$, tenga en cuenta que $\mathbb{R} \setminus \{ x_n : n > m \}$ es una vecindad de a $x_m$ que contiene no$x_n$$n > m$. De ello se desprende que la secuencia no convergen a $x_m$.
Hausdorff. Desde la nueva topología es más fina que la topología Euclidiana, este espacio es claramente Hausdorff.
No separable. De ello se sigue que todos los contables de subconjuntos de a $\mathbb{R}$ están cerrados, y por lo tanto no contables subconjunto puede ser denso.
