Deje $X_1, \dots, X_n$ ser independientes normalmente distribuidas variables aleatorias. ¿Cuál es la distribución de: $$ Y_i = \frac{X_i}{\mathrm{stdDev}(X_1, \dots, X_n)}, $$ donde $\mathrm{stdDev}(X_1, \dots, X_n)$ es la desviación estándar de la muestra? Me encontré esto en una simulación, donde la simulación de variables aleatorias se "normalizó" antes de ser usada, pero ningún análisis estadístico.
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wolfies
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No pretende ser una respuesta ... pero más de un comentario de que es demasiado largo para el cuadro de comentario ...
Actualizado para la OP del cambio de la varianza de la muestra a la desviación estándar de la muestra
Para tener una idea de la dificultad del problema ... considerar la forma más simple posible esta pregunta se puede tomar, a saber:
- una muestra de tamaño $n = 2$, donde ...
- $X_1$ $X_2$ sorteos a partir de un estándar común Normal de los padres.
A continuación, utilizando la $(n-1)$ versión de la varianza de la muestra, y la definición de desviación estándar de la muestra como la raíz cuadrada de la última, ... el problema es encontrar la distribución de:
$$Y = \frac{\sqrt{2}\, X_1}{\big|X_1-X_2\big|} \quad \quad \text{where } X_i \sim N(0,1) $$
Este no parece ser del todo fácil ... no importa los problemas en general de la $n \geq2$.
La simulación de Monte Carlo de los pdf (para diferentes tamaños de muestra $n$)
¿Cuál será el general $n$ solución? En el siguiente diagrama se construye el empírica de Monte Carlo pdf de su relación $Y$, para las muestras de tamaño $n = 2, 3, 5$$25$. De cada parcela se compara el:
- empírica de Monte Carlo pdf [onduladas de la curva azul] para
- una Normal estándar pdf (discontinua curva roja)
Quizás hay algo de consuelo en que, por el momento $n = 25$, la distribución parece estar bien-aproximar por una Normal estándar (siempre y cuando el padre es Normal estándar). Pero el pequeño tamaño de las muestras son difíciles.
- Si usted está interesado en general, las distribuciones Normales (es decir, con los no-cero), entonces no es, por supuesto, la complicación adicional de la asimetría de las parcelas.
