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Question

Estoy bastante seguro de que esta es una pregunta fácil teoría determinada descriptiva que estoy escondiendo solo en.

¿Es consistente con los grandes cardenales - dice, con una medible - que toda clase de $\Sigma^1_4$ (no vacío) de reales tiene un miembro de $\Delta^1_4$?

Mi recuerdo es que hay una fácil respuesta negativa, pero no recuerdo los detalles.

Answer 1

Esto es cierto en $L$ por el Ejercicio 5A.4 en Moschovakis $\textit{Descriptive Set Theory}$. De hecho, para todos los $n \geq 2$, $\Delta_n^1$ es una base para $\Sigma_n^1$. El siguiente es un boceto:

El uso de la $\Delta_2^1$ buen orden de $({}^\omega 2)^L$, se puede demostrar que los $\Sigma_n^1$ tiene la uniformización de la propiedad.

Dado $A$$\Sigma_n^1$, considere la posibilidad de $\{0\} \times A$, que todavía es $\Sigma_n^1$. Uniformize ello, para obtener un $\Sigma_n^1$ singleton, $A^* = \{(0, y)\}$. Entonces

$n \in y \Leftrightarrow (\exists z)(n \in z \wedge (0,z) \in A^*) \Leftrightarrow (\forall z)((0,z) \in A^* \Rightarrow n \in z)$

Por lo tanto, $y$$\Delta_n^1$$y \in A$.

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Si tu pregunta es si es coherente relativa gran cardenal que "existe un cardinal medible y $\Delta_4^1$ es una base para $\Sigma_4^1$", esto también es verdadero:

Moschovakis 6C.6 muestra que, en $\Delta_{2n}^1$ determinación implica $\Delta_{2n + 2}^1$ es una base para $\Sigma_{2n + 2}^1$.

Como en el anterior, esto se deduce de la $\Delta_{2n}^1$ determinación de lo que implica $\Sigma_{2n + 2}^1$ uniformización.

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También Martin y Solovay en $\textit{A Basis Theorem for ...}$ manifiesta que si $\mu$ es una medida de un cardinal medible, a continuación, $L[\mu][c]$ donde $c$ es genérico para cualquier pequeña obligando a (decir Cohen obligando a), entonces existe un $\Pi_3^1$ (en particular,$\Sigma_4^1$) sin ninguna ordinal definibles reales.

Por lo tanto la presencia de un cardinal medible no es suficiente para definir su propiedad.