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Variación del módulo de una variable aleatoria

Que $X$ ser una variable aleatoria con media $\mu$y varianza $\sigma^2$. ¿Cuál es el límite superior en la variación de $Y=\left|X\right|$?

Mi corazonada dice que $\operatorname{Var}(Y) \leq \operatorname{Var}(X)$ porque 'módulo' es una función de muchos a uno.

Nota:-es fácil ver eso si $X$ toma valores sólo positivos, $\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{Var}(X)$

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user8076 Puntos 16

Así $$ \def\var{\text{var}} \var\bigl( |X| \bigr) = E\left(X^2\right) - E\bigl( |X| \bigr)^2.$ $ sabes escribir $E(X^2)$ $\mu$ y $\sigma$.

Ahora definir una nueva variable aleatoria $X^+$ $X^+ = X$ si $X>0$ y $X^+=0$ si $X\le 0$; del mismo modo que $X^- = X$ si $X < 0$ y $X^-=0$ si $X\ge 0$.

Suponiendo que ambos $E\left(X^+\right)$ $E\left(X^-\right)$ existen y demuestran que $$ \var\bigl( |X| \bigr)= \var(X) + 4E\left(X^+\right)E\left(X^-\right).$ $

Mostrar que esto es $\le \var(X)$ y compruebe que el límite esté apretado.

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John Gibb Puntos 4473

Sabemos que $$ \; \; \; \; X \leq | X | \\ \Rightarrow E\big(X\big) \leq E\big (| X | \big) \\ \Rightarrow E\big (X\big) ^ 2 \leq E\big (| X | \big) ^ 2 $$

Usando lo anterior en $$ \def\var{\text{var}} \var\bigl( |X| \bigr) = E\left(X^2\right) - E\bigl( |X| \bigr)^2.$ $

obtenemos

$$ \var\bigl( |X| \bigr) \leq E\left(X^2\right) - E\bigl( X \bigr)^2 = \var(X)$$

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