¿Por qué inclusión-exclusión se utilizaría aquí?

Question

Estoy tratando de hacer algo de matemáticas discretas de trabajo y me han dicho que tengo que usar la Inclusión-exclusión, pero yo realmente no veo por qué la exclusión sería necesario?

La pregunta:

¿Cuál es el número de formas de color $n$ objetos con 3 colores si cada color debe ser utilizado al menos una vez?

Si dejamos que cada color representa un círculo en un diagrama de venn, nos encontrábamos con algo como esto:

Digamos que el círculo verde es $A$, el círculo azul es $B$ y el círculo rojo es $C$.

Si hemos utilizado la inclusión-exclusión, $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| = |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap C \cap C|$

¿Por qué excluir $|A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C|$? Que sería deshacerse de amarillo, púrpura y azul bebé. Hay algo que me falta?

Yo diría que hay 7 colores posibles por objeto, por lo tanto, el número de formas de color de n objetos con 3 colores serían $n^7$.

Answer 1

Podemos hacer una tabla de la cantidad de formas de color:

Uso del color $1$ sólo: $1$ forma de color.

Uso del color $2$ sólo: $1$ forma de color.

Uso del color $3$ sólo: $1$ forma de color.

El uso de colores $1$ $2$ (de manera que cada color aparece al menos una vez): $2^n-2$ formas de color

El uso de colores $1$ $3$ (de manera que cada color aparece al menos una vez): $2^n-2$ formas de color

El uso de colores $2$ $3$ (de manera que cada color aparece al menos una vez): $2^n-2$ formas de color

El uso de colores $1,2$ $3$ (de manera que cada color aparece al menos una vez): $3^n-3\cdot2^n+6-3=3^n-3\cdot2^n+3$

Answer 2

¿Por qué excluir a |A∩B|−|A∩C|−|B∩C| ? Que sería deshacerse de amarillo, púrpura y azul bebé. Hay algo que me falta?

Ellos no son los redondeado-áreas del triángulo, son las áreas de la lenticular formas.

Es decir, son las $()$ donde dos círculos se superponen.

Así, si tomamos el área de los tres círculos, restar las áreas donde los dos círculos se superponen, añadir de nuevo la zona donde tres círculos se superponen, ¿cuántos de cada uno de los distintos colores de la sección de qué medir?

• Círculo: Verde, Cian, Blanco, Amarillo
• Círculo B: Azul, Cian, Blanco, Púrpura
• Círculo C: Rojo, Púrpura, Blanco, Amarillo.
• Lente De $A \cap B$: Cian, Blanco
• Lente De $B\cap C$: Blanco, Púrpura
• Lente De $A\cap C$: Blanco, Amarillo
• Central $A\cap B\cap C$: Blanco.

Pero esto no es lo que la pregunta estaba pidiendo; aunque el principio es el mismo.

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Yo diría que hay 7 colores posibles por objeto, por lo tanto, el número de formas de color de n objetos con 3 colores serían $n^7$ .

No. La pregunta significa que cada objeto puede ser pintado en uno de los tres colores, y cada color debe ser utilizado para pintar al menos un objeto.

Las formas para pintar $n$ objetos con en la mayoría de las $3$ colores es $3^n$. Pero en la mayoría de los tres colores. Queremos usar exactamente tres colores.

Así que usted tiene que contar maneras de pintar los objetos de uso en la mayoría de los tres colores, excluir formas que utilizan en la mayoría de los dos colores, e incluyen formas en que el uso de un solo color.

$$3^n - \binom{3}{2} 2^n + \binom{3}{1} = 3^n - 3\cdot 2^n + 3$$

Answer 3

$$\left|\,A\cup B\cup C\,\right|=\color{#C00000}{\left|\,A\,\right|+\left|\,B\,\right|+\left|\,C\,\right|}\color{#00A000}{-\left|\,A\cap B\,\right|-\left|\,B\cap C\,\right|-\left|\,A\cap C\,\right|}\color{#0000F0}{+\left|\,A\cap B\cap C\,\right|}$$ Contar el número de veces que algo que es sólo en uno de $A$, $B$, o $C$ se cuenta: $$ 1=\color{#C00000}{1}\color{#00A000}{-0}\color{#0000F0}{+0} $$ Contar el número de veces que algo que está en exactamente dos de $A$, $B$, y $C$ se cuenta: $$ 1=\color{#C00000}{2}\color{#00A000}{-1}\color{#0000F0}{+0} $$ Contar el número de veces que algo que está en todas las tres de $A$, $B$, y $C$ se cuenta: $$ 1=\color{#C00000}{3}\color{#00A000}{-3}\color{#0000F0}{+1} $$

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Para aplicar esto a su coloración, tenga en cuenta que a $\left|\,A\,\right|+\left|\,B\,\right|+\left|\,C\,\right|$ hemos de color (o cuenta) de cada uno de $\left|\,A\cap B\,\right|$, $\left|\,B\cap C\,\right|$, y $\left|\,A\cap C\,\right|$ dos veces, así que tenemos que eliminar uno de cada uno de aquellos. Sin embargo, en la eliminación de todos los tres de $\left|\,A\cap B\,\right|$, $\left|\,B\cap C\,\right|$, y $\left|\,A\cap C\,\right|$, hemos quitado $\left|\,A\cap B\cap C\,\right|$ tres veces a partir de la inicial de tres veces fue añadido en $\left|\,A\,\right|+\left|\,B\,\right|+\left|\,C\,\right|$, por lo que necesitamos de color (o el número) de nuevo.

Answer 4

No es claro si los objetos a ser pintadas son distintas (como las casas) o deben ser considerados como idénticos, como las bolas. Las respuestas en los dos casos son diferentes. Vamos a estudiar únicamente el caso en el que los objetos son distintos.

Recuerde que el lado de la condición de que cada color debe ser utilizado al menos una vez.

Supongamos que nos olvidamos de esa condición. Asumir decir que no se $10$ distintos objetos para ser pintadas.

Si no hay ninguna condición sobre el uso de cada color, al menos una vez, la respuesta sería sencilla. Para cada una de las $10$ objetos, hay $3$ colores a elegir, para un total de $3^{10}$.

Deje que los colores azul, rojo y blanco. Algunas de las $3^{10}$ opciones mencionadas arriba son malas opciones. Por ejemplo, algunas de estas opciones no utilice el color azul.

Cómo muchas opciones que no uso el azul? Entonces estamos utilizando un $2$-paleta de colores. Por lo $2^{10}$ opciones no utilice azul. Del mismo modo, $2^{10}$ opciones no usar el color rojo, y $2^{10}$ opciones no usar el color blanco.

Lo que es el número de la mala opciones iguales a las de $3\cdot 2^{10}$? No del todo. Cada una de las $2^{10}$ opciones incluye $2$ elecciones en las que sólo uno se utiliza el color. Así que cada uno la elección del color ha sido contado por $3\cdot 2^{10}$ dos veces. Así que de hecho hay sólo $3\cdot 2^{10}-3$ malas decisiones.

Así, el número total de opciones válidas es $3^{10}-3\cdot 2^{10}+3$. Es útil para escribir esto como $\binom{3}{3}3^{10}-\binom{3}{2}2^{10}+\binom{3}{1}1^{10}$.