Una pregunta sobre la homogeneidad topológica de colectores

Question

Deje $M$ ser conectado topológico colector de dimensión $n \geq 1$. Es bien sabido que si $p,q \in M$ entonces existe un homeomorphism $\phi : M \to M$ tal que $\phi(p) = q$. Esto se puede resumir diciendo que todo conectado topológico colector es topológicamente homogénea.

Me han preguntado un par de veces si:

dado los puntos de $m \in M$ $p,q \in M \backslash \{m\}$ existe un homeomorphism $f : M \to M$ que corrige $m$ y envía $p$$q$.

Ahora bien, esto es cierto cuando se $M$ es un compacto conectado topológico colector de dimensión $n \geq 2$. Aquí es por qué. Desde $n \geq 2$, $M \backslash \{m\}$ está conectado a un colector, cuyo único punto de compactification es $M$. Por topológica de la homogeneidad, existe una homeomorphism $f : M \backslash \{m\} \to M \backslash \{m\}$ que se asigna a $p$ a $q$. $f$ es un buen mapa, por lo que se eleva a un automorphism $M \to M$ de los 1 punto compactification que los mapas de infinito a infinito, que se yo.e maps $m$$m$.

Esto también es cierto para $\mathbb{R}$. Una dilatación centrado en $m$ hace el truco.

está por encima de la caja declaración de la verdad para otros no compacto colectores?

Answer 1

Definir una relación de equivalencia en $N = M \smallsetminus \{m\}$ declarando $p \sim q$ si existe un homeomorphism de $M$ la fijación de un barrio de $m$, y de llevar a $p$ a $q$. Esta relación de equivalencia ha abierto de clases de equivalencia debido a que cada punto equivale a que todos los puntos en una coordenada parche alrededor de ella⁽¹⁾. Desde $N$ está conectado (en este caso estoy usando que la dimensión es $\geq 2$), sólo hay una clase de equivalencia.

Añadió:

⁽¹⁾ Para ver esto, basta para demostrar que un Euclidiana bola es homogénea a través de un diffeomorphism la fijación de un barrio de su límite. Para este fin, vamos a $a,b \in B_{r}(0)$ y elija un suave golpe función de $f: B_{r}(0) \to [0,1]$ compatibles dentro de $B_{r}(0)$ y constante igual a la de una pelota que contiene tanto $a$$b$. El campo de vectores $X(p) = f(p)(b-a)$ genera un flujo de $\varphi^t$ cuyo tiempo-un mapa de $\varphi^1$ es un diffeomorphism satisfacer $\varphi^1(a) = b$ y la fijación de todo lo que fuera el apoyo de $f$. Véase también Georges Elencwajg del "pescado respuesta" aquí y el debate en los comentarios.

Por cierto, un argumento similar que también demuestra la declaración de Mariano respuesta en las $k$-transitividad de la homeomorphism grupo conectado un $n$-colector de dimensión al menos dos: $N = M^{k} \smallsetminus \{\text{large diagonal}\}$ está conectado y la relación de equivalencia en $N$ $(p_1,\ldots,p_k) \sim (q_1,\ldots,q_k)$ si y sólo si hay un homeomorphism $\varphi$ $M$ tal que $(q_1,\ldots,q_k) = (\varphi(q_1),\ldots,\varphi(q_k))$ ha abierto de clases de equivalencia, por lo tanto debe ser todos los de $N$.

Answer 2

De hecho, el grupo de homeomorphisms (cuando la dimensión es al menos 2) actos $k$-transitoriamente para todos $k\geq0$, así que la respuesta a tu pregunta es: es cierto para todos los colectores.