La Jacobi theta función es bien conocido: $$\theta(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\pi i n^2 \tau + 2\pi i nz}$$ En Shahn Majid "Fundamentos de la Cuántica, Teoría de grupos", te encontrarás con una especie de finito de la theta de la función en el ejemplo 2.1.11 en la página 45, a la que él llama "$\mathbb{Z}_n$-theta función": $$\theta_d(a) = \frac{1}{d}\sum_{n=0}^d \mathrm{e}^{\frac{2\pi i}{d} (n^2 + an)} \qquad d \in \mathbb{N}$$ Yo nunca había oído hablar de una función de este tipo antes. Google no da nada prometedor. Parece como una función theta con $\tau = \frac{2}{d}$$z = \frac{a}{d}$, pero la suma es finita (como una especie de regularización?). Es este estudió en cualquier lugar? Puede ser derivada de la costumbre de la theta de la función? Hay conocidos identidades que involucran a este?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
A menudo tenemos un objeto y deseamos para encontrar los análogos de la misma en otros entornos. A veces la definición del objeto de no traducir directamente desde la configuración original a la nueva configuración. La solución es volver a escribir la definición en una forma que puede ser traducido directamente en la nueva configuración.
Considere la posibilidad de la transformada de Fourier. Esto creo que es prudente resaltar porque está relacionada con la función theta - de hecho, $\theta(z,\tau)$ parece ser una serie de Fourier con un "cuadrática de aumento."
Originalmente, si $f(x)$ es una buena función tenemos $\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i \xi x}dx$. ¿Cómo podemos traducir esto en un entorno que no necesariamente tiene real o números complejos? Obviamente no podemos escribir la expresión de la $e^{-2\pi ix\xi}$. Aviso, para cada una de las $\xi\in\Bbb R$, la función de $\chi_\xi(x):=e^{-2\pi i\xi x}$ es un grupo continuo homomorphism $\Bbb R\to S^1$ donde $S^1$ es el grupo de números complejos que tienen valor absoluto $1$ y la multiplicación (y el subespacio de la topología heredada de $\Bbb C$). Este es un considerablemente general tipo de objeto, un personaje.
Para $G$ suficientemente agradable (localmente compacto abelian) del grupo, el conjunto $\widehat{G}$ de caracteres $G\to S^1$ equipada con pointwise multiplicación se convierte en un grupo, además de a $G$ admite también de su propia (Haar), la medida, la cual nos permite integrar sobre él. A continuación, para las funciones de $f:G\to\Bbb C$, podemos definir la transformada de Fourier como una función de $\hat{f}:\widehat{G}\to\Bbb C$ $\hat{f}(\chi):=\int_G f(g)\chi(g)d\mu(g)$ ($\chi\in\widehat{G}$).
En particular, se puede equipar el finito grupo cíclico $G=\Bbb Z/n\Bbb Z$ con la topología discreta y hablar sobre el discreta de Fourier. Los caracteres $\Bbb Z/n\Bbb Z\to S^1$ se dan por $k+n\Bbb Z\mapsto e^{2\pi i ak/n}$ varios $a\in\Bbb Z/n\Bbb Z$, y así con $f:\Bbb Z/n\Bbb Z\to\Bbb C$ tenemos $\hat{f}(a)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n f(k)e^{2\pi i ak/n}$.
El libro dice que el $\Bbb Z/n\Bbb Z$-theta función es la "$\Bbb Z/n\Bbb Z$-transformada de Fourier de una Gaussiana." ¿Qué significa "una Gaussiana"? La habitual "Gaussiano" funciones de parecerse a $\alpha e^{\beta x^2}$ para algunos la elección de los parámetros de $\alpha,\beta$. Con los números complejos es el mismo como $\alpha e^{2\pi i \beta x^2}$. Uno podría pensar entonces que con un anillo de $R$ cuyo subyacente aditivo grupo es agradable y topológico, si $\chi:(R,+)\to\Bbb C^\times$ es un grupo homomorphism, a continuación, $\chi(x^2)$ es una función de Gauss. En el marco de $\Bbb Z/n\Bbb Z$, el prototipo de una función Gaussiana se $\chi:k+n\Bbb Z\mapsto\exp(2\pi i k^2/n)$, y el $\Bbb Z/n\Bbb Z$-transformada de Fourier de esta producirá exactamente este llamado $\Bbb Z/n\Bbb Z$-theta función.
Esta analogía es imperfecta. El original de la theta de la función está dada por una serie de Fourier, que es una especie de, pero no es exactamente una transformada de Fourier para el grupo $\Bbb Z$. Pero entonces la "Gaussiano" es permitido tener un complejo de parámetro, de modo que en un sentido la función theta es un poco más engalanada y preparado para cosas como el calor ecuaciones y modularidad. Sin embargo, creo que el párrafo anterior es lo que el autor está pensando, especialmente debido a la frase "la transformada de Fourier de una Gaussiana."
No estoy seguro de que este uso de "Gauss" es omnipresente. Por ejemplo, en el contexto de la Tate tesis en la teoría de números, Gaussianas son los puntos fijos de (aditivo) las transformadas de Fourier, y, a continuación, el multiplicativo de la transformada de Fourier de la Gaussianas son la Gamma factores. En cualquier caso, no es en realidad bastante literatura sobre estos discretos theta funciona, solo tienen un nombre diferente: usted desea buscar para generalizada cuadrática sumas de Gauss. Uno de mis favoritos de exposiciones sobre sumas de Gauss que he encontrado es este verano diario.
