¿Qué son intuitivamente los regímenes normales?

Question

Un anillo se llama integralmente cerrado si es un dominio integral y es igual a su cierre integral en su campo de fracciones. Un esquema se llama normal si cada tallo es integralmente cerrado.

Algunos teoremas sobre la normalidad:

1. Un anillo local de dimensión 1 es normal si y sólo si es regular.

2. (Criterio de Serre) Un esquema es normal si y sólo si es no singular en codimensión 0 y codimensión 1 y cada tallo en un punto genérico de un subconjunto cerrado irreducible con dimensión $\ge 2$ tiene una profundidad mínima de 2.

3. Toda función racional en un esquema normal sin polos de codimensión 1 es regular.

4. (conectividad Zariski): Si $f:X\rightarrow Y$ es un mapa biracional propio de esquemas integrales noetherianos y $Y$ es normal, entonces cada fibra está conectada.

5. Esquemas normales sobre $C$ son topológicamente unibranqueadas.

Pero las pruebas que he visto son bastante ad hoc, y me preguntaba si existe alguna perspectiva geométrica que aclare estos resultados. El único resultado aquí que es un "si" es el criterio de Serre, pero no entiendo la profundidad geométricamente, así que no estoy seguro de cómo interpretarlo.

¿Existe alguna bonita perspectiva geométrica de la normalidad?

Answer 1

En el mundo de los esquemas localmente noetherianos, el criterio de Serre puede hacerse bastante geométrico.

Sea $X$ sea un esquema reducido, localmente noetheriano. Entonces...

• $X$ es $R_1$ si el lugar singular tiene codimensión al menos 2.
• $X$ es $S_2$ si, para cada $Y\subset X$ de codimensión mínima $2$ las funciones regulares sobre el complemento $X-Y$ se extienden a funciones regulares sobre $X$ .

Este segundo hecho puede encontrarse en la obra de Ravi Vakil notas (Teorema 12.3.10), o en este Post de MathOverflow.

A grandes rasgos, la normalización de una variedad mejora las singularidades de la siguiente manera.

• En codimensión $1$ los resuelve por completo.
• En codimensión $\geq 2$ las mejora lo suficiente como para que las funciones racionales definidas en su complemento puedan extenderse a la singularidad.

Answer 2

Como teórico de los números, primero pensaría en la normalidad en términos de órdenes en campos numéricos algebraicos.

Considere el campo numérico $K$ definida por $\sqrt{-3}$ a los racionales. ¿Qué es el anillo de enteros en este campo? A primera vista, la respuesta "obvia" es $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ pero el elemento

$$\alpha = \frac{1 + \sqrt{-3}}{2}$$

es integral sobre $\mathbb{Z}$ con polinomio mínimo $x^2 - x + 1$ . Así, $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ no es integralmente cerrado en su campo cociente.

¿Cuál es entonces la diferencia entre $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ y $\mathbb{Z}[\alpha]$ ? Como son isomorfos como esquemas sobre $\text{Spec } \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ el problema, si lo hay, es con el 2.

Porque $x^2 - x + 1$ es irreducible mod 2, el ideal primo (2) de $\mathbb{Z}$ sigue siendo primordial en $\mathbb{Z}[\alpha]$ . Sin embargo, $x^2 + 3 \equiv (x-1)^2 \ (\text{mod }2)$ y se deduce que (2) no es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ . Por lo tanto, el esquema normal $\text{Spec }\mathbb{Z}[\alpha]$ da la descripción correcta de la aritmética de este campo numérico $K$ .

Otra forma de pensar en estos objetos utilizando tu teorema 3 anterior: ¿Cuál es el divisor de $\alpha$ considerado como un elemento del campo de fracciones de $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ (es decir, el campo de funciones de $\text{Spec }\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ )?