Inverso de $y=xe^x$

Question

Tengo ganas de encontrar la inversa de $y=xe^x$ debería tener una respuesta fácil pero no la encuentro.

Answer 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function consulte la sección Aplicaciones.

Answer 2

Inversión de $xe^{-x}$ es un problema con estructura combinatoria, del que también se puede invertir $xe^x$ y derivar la mayoría de las propiedades en la página de Wikipedia. Al menos para la comprensión teórica es más fácil tratar la inversa de $x\exp(-x)$ como objeto básico y luego traducirlo en términos de "Lambert W".

Inverso de $f(x) = x \exp(-x)$ es la función generadora de árboles enraizados $\Sigma n^{n-1} X^n/n!$ . Que la serie representa la inversa equivale a un simple hecho combinatorio ("al eliminar la raíz y sus aristas de un árbol, se obtiene una colección de árboles enraizados"). La inversa de $xe^x$ es entonces $W(x)= -f^{-1}(-x)$ que es la misma serie con signo menos. El radio de convergencia $1/e$ se deduce de la aproximación de Stirling a $n!$ .

Los coeficientes de $W(x)^r$ que figuran en el artículo de Wikipedia son, hasta cierto punto, polinomios de Abel. Esto también se deduce de la interpretación combinatoria: $(f^{-1}(x))^r$ es la función generadora cuya $x^n$ es el número de mapas de un conjunto de tamaño $n$ a un conjunto de $r$ elementos con un árbol rooteado en cada fibra del mapa.

Answer 3

Asintóticamente, $x \approx \log y - \log\log y$ .