Espectro del operador derivado

Question

Deje $X$ ser el subespacio de $L^2(\Bbb{R})$ que consiste continuamente diferenciable funciones con derivados en $L^2(\Bbb{R})$. A continuación, se le pide para realizar el análisis espectral en el diferencial de operador $A=\frac{d}{dx}$, es decir, encontrar el espectro de $A$.

La declaración de la pregunta en sí misma es vaga. Desde mi entender, creo que la pregunta se refiere a las siguientes: necesitamos encontrar el espectro del operador lineal $$A:X\to S,\quad Af=f',$$ donde $S=C(\Bbb{R})\cap L^2(\Bbb{R})$, y tanto $X,S$ están dotados de la $L^2$ norma $\|\cdot\|_2$.

Acerca de la definición de espectro tengo: Deje $T: V\to W$ ser un delimitada operador lineal entre dos normativa espacios lineales, podemos decir que $\lambda\in\mathbb{C}$ está en

• el punto del espectro de $A$ si $\lambda I-A$ no es inyectiva
• el espectro residual de $A$ si $\lambda I-A$ es inyectiva, pero el rango de $\lambda I-A$ no es denso en $W$
• el espectro continuo si $\lambda I-A$ es inyectiva y el rango de $\lambda I-A$ es denso en $W$, pero a la inversa $(\lambda I-A)^{-1}$ definido en el alcance es ilimitado.

Mi intento:

Primero me encontré con el punto del espectro de $\sigma_p(A)$. Para cualquier $\lambda\in\Bbb{C}$, vamos a $f\in Ker(\lambda I-A)$. Esto implica que $\lambda f(t)-f'(t)=0$ todos los $t\in\Bbb{R}$. Entonces podemos ver que $f(t)=ce^{\lambda t}$$c\in\Bbb{C}$. Desde $f$ es de cuadrado integrable en $\Bbb{R}$, esto obliga a $c=0$. Por lo tanto vemos que el $f\equiv 0$ y, por tanto, $\sigma_p(A)=\emptyset.$

Entonces yo estaba tratando de encontrar la residual y continua de los espectros, y me quedé atrapado en este punto. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$\newcommand{\id}{I}$ Como se mencionó en los comentarios, el dominio donde se define el operador no es correcto - Si usted toma $C^1$-funciones de los derivados en $L^2$ el dominio será "muy pequeño", en el sentido de que $A-\lambda I$ no han cerrado gama y por lo tanto no puede ser surjective para cualquier $\lambda$ (El rango sería de las funciones continuas en $L^2$, su fácil demostrar que esto no es cerrado bajo la $L^2$-norma.). Esto significa que $A-\lambda I$ no puede ser invertible para cualquier $\lambda$, por lo tanto $\sigma(A)=\mathbb{C}$. En este caso, el rango de $A-\lambda I$ son los continuos $L^2$-funciones que se sabe que son densos en $L^2$, por lo tanto $\sigma(A)=\sigma_c(A)$ ya que se demostró que no puede haber ningún funciones propias.

Ahora, teniendo en cuenta la "correcta" de dominio para este operador: Naturalmente, esto será determinado por el espacio de Sobolev $H^1(\mathbb{R})$ , Ya que estamos en una dimensión, este espacio puede ser caracterizado como un subespacio de la absolutamente continuas $L^2$-funciones en $\mathbb{R}$, ya que para estas funciones puede definir un derivado casi en todas partes. El subespacio de considerar como un dominio son simplemente las funciones que esta una.e. derivados ("débil derivados") de nuevo es $L^2$-integrable.

Ahora voy a cambiar tu operador por $-i$, ya que este operador es un poco más fácil de manejar: Usted puede revisar o buscar, que el operador $\hat{p}=-i\frac{d}{dx}=-iA$ es auto-adjunto con este dominio, es decir, $\hat{p}=\hat{p}^\dagger$ donde el dominio de $\hat{p}^\dagger$ es canónicamente definido. En una nota de lado, este operador se corresponde con el impulso de la mecánica cuántica. Usted también puede comprobar, que para la densidad se define lineal de operadores, hemos $$ R(a)^\asesino=\operatorname{Kern}(A^\daga). $$Usando esta relación, usted puede, en particular, demostrar, que

• auto-adjoint que los operadores tienen un espectro que está totalmente contenida en la recta real.
• auto-adjunto operadores han vacío residual del espectro.

También puede buscar este tipo de material en cualquier libro de texto básico en el análisis funcional, el cual contiene el operador de la teoría, por ejemplo, Rudin o el primer volumen de Reed-Simon. Voy a probar ahora que $\sigma (\hat{p})=\mathbb{R}$, lo que implica que $\sigma(A)=i\mathbb{R}$.

Deje $\lambda\in\mathbb{R}$, nos muestran que la $\hat{p}-\lambda I$ no es invertible. Considerar un valor distinto de cero función suave $f\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})\subset D(\hat{p})$, es decir, $f$ tiene soporte compacto, y definir $g_k(x)=\frac{1}{\sqrt{k}}e^{i\lambda x}f(k^{-1}x)$. Claramente, $g_k\in D(\hat{p})$ y usted puede comprobar que $\|f\|=\|g_k\|$. Además, usted puede calcular el $\|(\hat{p}-\lambda\id) g_k\|=\frac{1}{k}\|f'\|$. Suponga que $\hat{p}-\lambda\id$ tiene una limitada inversa, entonces no se mantenga $$ \|f\|=\|g_k\| =\|(\hat{p}-\lambda\id)^{-1}(\hat{p}-\lambda\id)g_k\| $$ $$ \leq\|(\hat{p}-\lambda\id)^{-1}\| \|(\hat{p}-\lambda\id)g_k\| = k^{-1}\|(\hat{p}-\lambda\id)^{-1}\| \|f\| $$

para cualquier(!) $k\in\mathbb{N}$, lo que implicaría $f$ ser constante cero. Desde $f$ fue elegido no ser constante cero, esto es una contradicción, y por lo tanto,$\mathbb{R}\supset\sigma(\hat{p})$. Desde $\hat{p}$ es auto-adjunto, no puede ser más, de ahí el reclamo de la siguiente manera.

Dado que los residuos del espectro está vacía y ya se demostró que el punto de espectro está vacío, esto implica que el espectro continuo de $A=\frac{d}{dx}$ $i\mathbb{R}$ y todos los demás espectros están vacías.

Usted puede, por supuesto, pregúntese "¿el f no viene con una función de este tipo?", el razonamiento es el siguiente: Para $\hat{p}$, $e^{i\lambda x}$ es un eigenfunction a $\lambda$, pero que no se encuentran en $L^2$. Sin embargo, no es que lo malo de una función en el sentido, que se puede aproximar suficientemente bien con las funciones del dominio de la $\hat{p}$ - esto es exactamente lo $g_k$ hace, la función de $f$ sirve como un límite de la función. Buceo más en la teoría, usted encontrará que $g_k$ es lo que llamamos un "Weyl secuencia" de$\hat{p}$$\lambda$.