Signo de comprensión del problema de integrales de volumen en el espacio de Minkowski

Question

Mi profesor me dijo que una de las 4 dimensiones de Minkowski - Espacio Integral en el que estaba trabajando puede ser escrito como el producto de un tensor métrico y un escalar:

$\int d^4 k \frac{k^\mu k^\nu}{(k^2-m_1^2)(k^2-m_2^2)} = g^{\mu \nu} B_2$

donde $B_2$ es un escalar.

Me sorprende que al parecer por $\mu = \nu = 0$ , el signo de la integral es opuesta a la señal, por ejemplo, $\mu = \nu = 1$. Este parece mal para mí, y en un Eucledian Espacio sería sin duda. Si me habían pedido que adivinar, yo hubiera escrito la ecuación anterior con $g^\mu_\nu B_2$ en el lado derecho en lugar..

Alguien puede aportar claridad?

Answer 1

La idea clave es que la integral que escribió es una de Lorentz-invariante del tensor, así que lo que se evalúa debe ser también de Lorentz-invariante.

Para ilustrar esto, vamos a ser un poco más general y considerar cualquier integrante de la forma $$\begin{align} I^{\mu\nu}[f] = \int d^4k\, f(k^2)k^\mu k^\nu \end{align}$$ para cualquier admisible en función de $f$. A continuación, observe que para cualquier transformación de Lorentz $\Lambda = (\Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu})$ hemos $$\begin{align} \Lambda^\alpha_{\phantom\alpha\mu}\Lambda^\beta_{\phantom\beta\nu}\,I^{\mu\nu}[f] &= \int d^4k\, f(k^2)(\Lambda^\alpha_{\phantom\alpha\mu}k^\mu)( \Lambda^\beta_{\phantom\beta\nu}k^\nu)\\ &= \int d^4 u f(u^2) u^\alpha u^\beta \\ &= I^{\alpha\beta}[f] \end{align}$$ donde en la segunda igualdad hemos hecho el cambio de las variables de $u^\alpha = \Lambda^\alpha_{\phantom\alpha\mu}k^\mu$, y hemos tomado nota de que el plazo $f(k^2)$ hace $f(u^2)$ porque $k^2$ es de Lorentz-invariante, y la medida de $d^4 k$ es de Lorentz-invariante.

Adenda. (A raíz de los comentarios en respuesta v1)

El argumento anterior demuestra que proporcionan $f$ es tal que $I^{\mu\nu}[f]$ está bien definido, la integral es una de Lorentz-invariante de dos tensor y por lo tanto es de la forma $g^{\mu\nu}B[f]$ para algunos escalares funcional $B$ como lo escribió.

Sin embargo, tal como está escrito, la integral que escribió es divergente porque el integrando es singular (él tiene polos en$k^2 = m_1^2$$k^2 = m_2^2$), y por poder contar lo que muestra que el integrando escala linealmente con $k$ grandes $k$, por lo que es UV divergentes. Este mal definedness conduce a todo tipo de aparente "paradojas." Por ejemplo, como se ha señalado por user10001, si tuviéramos que establecer $m_1 = m_2$, entonces el integrando es manifiestamente positivo a menos $k^\mu = 0$, así que ¿cómo podría $I^{00}$ $I^{ii}$ tienen diferentes signos?

La resolución es de notar que esta integral viene de QFT donde uno utiliza el llamado $i\epsilon$ receta (para la buena física razones) que elimina los polos desde el integrando por el cambio de la distancia desde el eje real. Por otra parte, una de las correcciones de la UV divergencia por la regularización de la integral (utilizando, por ejemplo, dimensiones de regularización). El objeto entonces se debe calcular es $$\begin{align} I^{\mu\nu}(d) = \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\mathbb R^4} d^dk \frac{k^\mu k^\nu}{(k^2 - m_1^2 + i\epsilon)(k^2-m_2^2+i\epsilon)}, \tag{%#%#%} \end{align}$$ para $\star$ y, a continuación, analíticamente continuar con esto a una función de $d\neq 4$ en el complejo de la llanura (menos algunos aislados de puntos singulares) que permite parametrizar la divergencia cerca de $I^{\mu\nu}(z)$ conectando $d=4$.

Tenga en cuenta que $z = 4-\epsilon$ no está plagada de cualquiera de las aparentes paradojas que se trate nosotros en los comentarios.