La definición de $a^x$ puede hacerse por etapas.
Para $x$ un número entero no negativo y $a\neq 0$ definimos $a^x$ de forma inductiva: $a^0 = 1$ y $a^{n+1} = a^n\times a$ . Por inducción matemática esto define $a^m$ para todos los enteros no negativos $m$ .
Es entonces un ejercicio más de inducción para demostrar que $a^na^m = a^{n+m}$ , $(ab)^n = a^nb^n$ y $(a^n)^m = a^{nm}$ . Por ejemplo, fijar $n$ demostramos que $a^na^0 = a^{n+0}$ (cierto, ya que $a^0=1$ por definición); suponiendo que $a^na^m = a^{n+m}$ entonces $$a^n(a^{m+1}) = a^n(a^ma) = (a^na^m)a = a^{n+m}a = a^{(n+m)+1} = a^{n+(m+1)}.$$
También podemos definir $0^n$ para cualquier positivo $n$ dejando $0^1 = 0$ , $0^{n+1} = 0^n0$ .
Habiendo definido $a^n$ para todos los números reales no nulos $a$ y todos los enteros no negativos $n$ ampliamos la definición a los enteros negativos de la siguiente manera: si $m$ es un número entero negativo, $m=-n$ con $n$ un número entero positivo, entonces definimos $$a^m = a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$$
Ahora es fácil comprobar que $a^na^m = a^{n+m}$ sigue siendo válida para cualquier número entero $n$ y $m$ que $(ab)^n = a^nb^n$ y que $(a^n)^m = a^{nm}$ . Tratamos el caso de los exponentes enteros negativos utilizando la definición. Por ejemplo, para demostrar $a^{n+m}=a^na^m$ observamos que si $n,m\geq 0$ entonces ya lo hemos probado. Si $n\gt 0$ , $m\lt 0$ y $n+m\geq 0$ entonces $$a^{-m}a^{n+m} = a^{n+m-m} = a^n$$ por el caso positivo, y multiplicando ambos lados por $\frac{1}{a^{-m}} = a^m$ da la igualdad. Argumentos similares son válidos si $n+m\lt 0$ . Si ambos $n$ y $m$ son negativos, entonces tomar los recíprocos se reduce al caso positivo.
Habiendo definido $a^n$ para todos $a\neq 0$ y todos los enteros $n$ ampliamos la definición a racional números. Para ello, necesitamos utilizar algunos datos sobre los números reales, y tenemos que restringir nuestra elección de $a$ : sólo podemos hacer lo siguiente si $a\gt 0$ .
Dado un número entero positivo $q$ , $a^{1/q}$ se define como el único número real $r$ tal que $r^q = a$ . Tal número existe por el Teorema del Valor Intermedio (considere la función $f(x) = x^q$ ) y es única (la función $f(x)=x^q$ es estrictamente creciente en $[0,\infty)$ ).
Entonces, dado un número racional $p/q$ con $p$ y $q$ relativamente primo, $q\gt 0$ definimos $a^{p/q} = (a^{p})^{1/q}$ . Si $n$ y $m$ son números enteros arbitrarios, definimos $a^{n/m}$ para ser $a^{p/q}$ , donde $\frac{n}{m}=\frac{p}{q}$ y $p$ y $q$ son relativamente primos, y $q\gt 0$ .
Esta definición se limita a la anterior cuando $q=1$ por definición, $a^{p/1}= (a^p)^1$ es el único número real $r$ tal que $r^1 = a^p$ eso es, $a^{p/1} = a^p$ .
Entonces se demuestra que esta definición sigue satisfaciendo las reglas de exponenciación: $a^{p/q}a^{r/s} = a^{(p/q)+(r/s)}$ , $(ab)^{p/q} = a^{p/q}b^{p/q}$ y $(a^{p/q})^{r/s} = a^{pr/qs}$ .
Por ejemplo, para demostrar que $a^{(p/q)+(r/s)} = a^{p/q}a^{r/s}$ basta con demostrar que $a^{p/q}a^{r/s}$ es el único número real que, cuando se eleva al $qs$ potencia, da $a^{ps+qr}$ ya que $\frac{p}{q}+\frac{r}{s} = \frac{ps+qr}{qs}$ . Pero esto no es más que una afirmación sobre entero para que podamos utilizar las propiedades ya establecidas: $$(a^{p/q}a^{r/s})^{qs} = (a^{p/q})^{qs} (a^{r/s})^{qs} = ( ( a^{p/q})^q)^s( ( a^{r/s})^s)^q.$$ Ahora, $a^{p/q} = b$ significa que $b^q = a^p$ . Así que $$ ((a^{p/q})^q)^s = (a^p)^s = a^{ps}.$$ De la misma manera, $((a^{r/s})^s)^q = a^{rq}$ . Así que $$(a^{p/q}a^{r/s})^{qs} = a^{ps}a^{rq} = a^{ps+rq},$$ lo que demuestra que $a^{p/q}a^{r/s} = a^{(ps+rq)/qs} = a^{(p/q) + (r/s)}$ .
Etc.
Una vez definida la exponenciación para exponentes racionales, la extendemos a la exponenciación para cualquier real número de una de varias maneras:
Una forma es la siguiente: Dado un número real $r$ , dejemos que $q_n$ sea una secuencia creciente de números racionales tal que $q_n\to r$ . Entonces definimos $a^r = \lim\limits_{n\to\infty}a^{q_n}$ .
Hay que demostrar que esto está bien definido (los límites existen, y si $p_n$ es una secuencia diferente de racionales que convergen a $r$ entonces el límite de $a^{p_n}$ es igual al límite de $a^{q_n}$ ). Esto se puede hacer; si se hace así, el hecho de que $(a^r)^s = a^{rs}$ se deduce demostrando que si $p_n\to r$ y $q_m\to s$ y, a continuación, mostrar que $$ \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}(a^{p_n})^{q_m} = \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}a^{p_nq_m}$$ convergerá a lo mismo que $a^{p_nq_n}$ y, por lo tanto, a $a^{rs}$ .
Como alternativa, se puede definir $a^r$ es el supremum de $a^{p/q}$ con $p/q$ números racionales menores que $r$ . En este caso, no se trata de una cuestión de buena definición ( $a^r$ existe y es único), y entonces sólo hay que demostrar que podemos expresar racionales menores que $rs$ en términos de racionales menores que $r$ y los racionales menores que $s$ y luego utilizar las propiedades de la exponenciación que ya conocemos para los racionales.
Un enfoque totalmente diferente es definir la función exponencial $e^x$ utilizando una serie de Taylor: $$e^a = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \sum_{k=1}^n\frac{a^k}{k!}\right),$$ luego mostrar que tiene las propiedades "habituales", definir el logaritmo como su inverso, y finalmente definir $a^b = e^{b\ln a}$ . Entonces la regla $(a^b)^c = a^{bc}$ se deduce directamente de las propiedades del logaritmo.
