¿Por qué ${\lambda _i}(A) \ge {\lambda _i}(B)$ ?

Question

Dejemos que $A,B \in {M_n}$ son herméticos y $A-B$ sólo tiene valores propios no negativos. ¿Por qué ${\lambda _i}(A) \ge {\lambda _i}(B)$ (para $i=1,2,\ldots,n$ ) ?

Answer 1

Esto es una consecuencia del Teorema de Monotonicidad, que dice que si $A$ y $B$ son herméticos y $B$ es semidefinido positivo, entonces $$\lambda_i(A+B) \ge \lambda_i(A).$$

De hecho, el propio Teorema de la Montonicidad es una consecuencia de Desigualdades de Weyl que dice que si $A,B$ son $n\times n$ Hermitiano, entonces $$\lambda_i(A) + \lambda_1(B) \ge \lambda_i(A+B) \ge \lambda_i(A) + \lambda_n(B).$$ Podemos ver que $B$ al ser semidefinida positiva significa que $\lambda_n(B) \ge 0$ por lo que el teorema de monotonicidad se deduce inmediatamente de las desigualdades de Weyl.

Para su resultado, simplemente aplicamos el teorema de monotonicidad a $B$ y $A-B$ (que es semidefinido positivo) para obtener $$\lambda_i(A) = \lambda_i(B + (A-B)) \ge \lambda_i(B).$$