Propiedad de sup de un conjunto de números

Question

Supongamos que $S\neq\emptyset$ es un conjunto acotado de números y que $a$ es un número. Definir $aS=\{ax\mid x\in S\}$.

Demostrar que el sup $aS$ = $a$sup $S$ si $a \geq 0$

Intuitivamente puedo ver por qué esto es cierto sólo probando algunos casos $a$ y $S$ pero no parecen demostrar por qué esto es cierto.

Answer 1

Sugerencia: Probar que

1. $\sup (aS)\leq a\sup (S)$
2. $\sup(aS)\ge a\sup(S)$

Sugerencia para probar 1: Demostrar que para cada $y\in aS$ tenemos $y\leq a\sup S$. Si usted probar esto, entonces usted tendrá demostrado que $a\sup (S)$ es un límite superior para $aS$. Se puede concluir?

Sugerencia para probar 2: Similar a la 1, pero en primer lugar tenga en cuenta que $\sup(aS)\ge ay$, para todos los $y\in S$ y por lo tanto, si $a>0,$ $\displaystyle \frac{\sup(aS)}{a}\ge y$, para todos los $y\in S$. El caso de $a=0$ es trivial. A la conclusión.

Edit: Antes de ir a probar las mencionadas desigualdades es necesario demostrar que la $\sup (aS)$ no existe, es decir, es necesario para mostrar que no existe la menor cota superior de os $aS$, pero eso es un consequece de los Menos-límite superior de la propiedad. Que probablemente fue dado como un axioma, así que no hay nada que demostrar. Simplemente es la verdad.

Answer 2

Por lo tanto, intentamos mediante la aplicación de la definición y ver cómo va.

Así que tenemos que hacer con los 2 casos, cualquiera de las $\sup S=\infty$ o $\sup S=M<\infty$.

Si es el segundo caso, esto significa que para todos los $x\in S$, $x\leq M$, así que, naturalmente,$ax\leq aM$. Por definición de la menor cota superior, tenemos $\sup aS\leq aM=a\sup S$.

En el reverso, deje $\epsilon>0$ ser dado. Si $a>0$,$\frac{\epsilon}{a}>0$. Por la definición de sup, existe $x\in S$ tal que $M-\frac{\epsilon}{a}\leq x\leq M$. Por lo tanto $aM-\epsilon\leq x\leq aM$. Desde esta $\epsilon$ es arbitrario, por lo $\sup S=M$.

Si $a=0$, entonces no tenemos nada que decir.

Y en cuanto a la infinidad de casos, que debería ser bastante evidente, por la elección de una secuencia en la $S$ tal que va hasta el infinito.