Estoy tratando de determinar la convergencia de la integral \begin {Ecuación} \int_0 ^1 \frac {f(x)}{x}\N, dx \end {Ecuación} dado que $f(x)$ está acotada y es continua en $[0,1]$ y que $f(x)=0$ . La acotación es justa para que la cuestión de la convergencia sea sólo en el punto $x=0$ . Quiero específicamente $f$ para ser sólo continua en $[0,1]$ y no diferenciable en una vecindad del origen, ya que podría utilizar simplemente una expansión de Taylor de $f$ para resolver el problema entonces.
Creo que la integral debería converger pero no consigo saber exactamente cómo escribirla. Como $1/x$ es el exponente crítico de convergencia cerca de $0$ parece que multiplicar $1/x$ por cualquier función que desaparezca en el origen debería ser suficiente para que la integral converja. Más concretamente, si $f(x)=x^{1/n} log(x)^m$ entonces $\lim_{x \to 0} f(x)=0$ para todos los valores positivos de $n$ y $m$ y $\int_0^1 f(x)/x \, dx < \infty$ . La derivada de estos $f$ se convierten en infinitos como $x\to 0$ y a un ritmo más rápido en el caso de las grandes $m$ y $n$ por lo que son buenos candidatos para $\int f(x)/x$ para no converger, pero la integral sigue convergiendo.
Cualquier sugerencia para una prueba, o un contraejemplo para demostrar que la integral no siempre converge sería muy apreciada.
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Un buen enfoque es utilizar el Teorema de aproximación de Weierstrass para demostrar que existe una secuencia de polinomios $f_n(x)$ tal que $f_n \to f$ de manera uniforme y $f_n(0) = 0$ . De ahí se deduce que $f_n(x)/x \to f(x)/x$ uniformemente, de modo que el límite de las integrales es la integral del límite.
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Essayez $f(x)=\frac{1}{1+|\log x|}$ para $x>0$ y $f(0)=0$ .
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Ese ejemplo del contador funciona Kelenner, ¡gracias!