Sumas cíclicas: ¿cómo se utilizan?

Question

¿Puede alguien darme un ejemplo de cómo se utilizan las sumas cíclicas? No entiendo muy bien cómo se utilizan en la resolución de problemas. Por ejemplo, $$\sum_{a,b,c}a^2$$ Cualquier ayuda se agradecería, y no estoy seguro de que sea la notación correcta, así que perdonadme. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Definición

Las sumas cíclicas se utilizan para denotar sumas sobre permutaciones. Consideremos la permutación $p=(a\, b\, c)$ . La suma cíclica $\sum_{p}a$ es la suma recorrida por toda la permutación un ciclo: $$\sum_p a=a+b+c.$$

El primer término se deriva del hecho de que el primer término de una suma cíclica es siempre sólo el término que se permuta. En este caso, estamos permutando $a$ . El segundo término se deriva de la operación de la permutación una vez: $a\mapsto b$ . El tercer término se deriva de la operación de la permutación dos veces: $a\mapsto b$ y $b\mapsto c$ . En otras palabras, cada término es la permutación iterada $n-1$ tiempos donde $n$ es la posición del término en la permutación.

Más rigurosamente, tenemos:

$$\sum_p f(x_1,\ldots, x_n)=\sum_{0\le k\le n-1}p^k\left( f(x_1,\ldots, x_n)\right),$$

para alguna permutación $p$ donde $p^k$ denota $p$ iterado $k$ tiempos.

Ejemplo

Con $p=(x_1\, \ldots \, x_n)$ la siguiente desigualdad es cierta para los pares $n\le 12$ e impar $n\le 23$ :

$$\sum_p \frac{x_1}{x_2+x_3}\ge \frac{1}{2}n,$$

donde $x_i$ es no negativo para todos los $x_i$ en $\{x_1,\ldots, x_n\}$ y los denominadores son positivos. Esto se denomina Constante de la suma cíclica de Shapiro .

Además, el siguiente documento puede ser de su interés: Observaciones combinatorias sobre la fórmula de la suma cíclica para múltiples valores zeta .

Apéndice

Una cosa personal que investigué fue lo siguiente: Dada la función $f(x)=ax^2+bx+c$ y la representación de $(s-t)$ , $(r-t)$ y $(r-s)$ como $p_1$ , $p_2$ y $p_3$ respectivamente, podemos afirmar que el coeficiente principal de $f$ de la siguiente manera:

$$a=\sum_{\substack{p\\ 1\le i\le 3}}f(r)\prod_{\substack{1\le j\le 3\\ j\ne i}}\frac{1}{p_i},$$

donde $p=(r\, s\, t)$ y $r$ , $s$ y $t$ son $x$ -coordenadas de los puntos de la parábola $f(x)$ . No sé si esto es correcto, ya que fue únicamente algún cálculo en mi tiempo libre.

Para el Sr. Lin:

La suma se expande como sigue:

$$\begin{align} a&=\sum_{\substack{p\\ 1\le i\le 3}}f(r)\prod_{\substack{1\le j\le 3\\ j\ne i}}\frac{1}{p_i}\\ &=\sum_{\substack{(r\, s\, t)\\ 1\le i\le 3}}f(r)\prod_{\substack{1\le j\le 3\\ j\ne i}}\frac{1}{p_i}\\ &=f(r)\prod_{\substack{1\le j\le 3\\ j\ne 1}}\frac{1}{p_i}+f(s)\prod_{\substack{1\le j\le 3\\ j\ne 2}}\frac{1}{p_i}+f(t)\prod_{\substack{1\le j\le 3\\ j\ne 3}}\frac{1}{p_i}. \end{align}$$

Estoy bastante seguro de que hay un error tipográfico con el $\frac{1}{p_i}$ . Creo que debería ser $\frac{1}{p_j}$ . Con eso en mente:

$$\begin{align} f(r)\prod_{\substack{1\le j\le 3\\ j\ne 1}}\frac{1}{p_i}+f(s)\prod_{\substack{1\le j\le 3\\ j\ne 2}}\frac{1}{p_i}+f(t)\prod_{\substack{1\le j\le 3\\ j\ne 3}}\frac{1}{p_i}&=\frac{f(r)}{p_2p_3}+\frac{f(s)}{p_1p_3}+\frac{f(t)}{p_1p_2}. \end{align}$$

Esta notación seguramente no es tan divertida de disfrutar: Hay que realizar la permutación y la expansión sobre el conjunto de índices $1\le i\le 3$ simultáneamente.

Answer 2

Ya que Iuli explicó lo que significa, sólo algunos comentarios para explicar por qué usamos este tipo de notación.

Las sumas cíclicas (y simétricas) aparecen con mucha frecuencia en las inecuaciones. La suma cíclica es simplemente la suma que se obtiene permutando las letras cíclicamente, es decir, desplazando la primera letra a la última. Del mismo modo, la suma simétrica es la suma sobre todas las permutaciones.

En realidad, son muy útiles en las inecuaciones que implican muchas letras, siempre que puedas manejarlas con facilidad.

Por ejemplo, digamos que necesitas utilizar en algún problema el llamado La desigualdad de Muirhead , en el caso particular $[7,3,2,1] > [5,4,3,1]$ . Entonces todo lo que escribes es
$$\sum_{sym} a^7b^3c^2d \geq \sum_{sym} a^5b^4c^3d$$

Si los escribes explícitamente, cada lado tiene 24 términos y la desigualdad exacta es:

$$a^7b^3c^2d + a^7b^3d^2c+ a^7c^3b^2d + a^7c^3d^2b+a^7d^3c^2b+a^7d^3c^2b+ b^7a^3c^2d + b^7a^3d^2c+ b^7c^3a^2d + b^7c^3d^2a+b^7d^3c^2a+b^7d^3c^2a +c^7b^3a^2d + c^7b^3d^2a+ c^7a^3b^2d + c^7a^3d^2b+c^7d^3a^2b+c^7d^3a^2b c^7b^3a^2d + c^7b^3d^2a+ c^7a^3b^2d + c^7a^3d^2b+c^7d^3a^2b+c^7d^3a^2b \geq a^5b^4c^3d + a^5b^4d^3c+ a^5c^4b^3d + a^5c^4d^3b+a^5d^4c^3b+a^5d^4c^3b+ b^5a^4c^3d + b^5a^4d^3c+ b^5c^4a^3d + b^5c^4d^3a+b^5d^4c^3a+b^5d^4c^3a +c^5b^4a^3d + c^5b^4d^3a+ c^5a^4b^3d + c^5a^4d^3b+c^5d^4a^3b+c^5d^4a^3b c^5b^4a^3d + c^5b^4d^3a+ c^5a^4b^3d + c^5a^4d^3b+c^5d^4a^3b+c^5d^4a^3b$$

¿Qué forma preferiría utilizar, especialmente si forma parte de un ejercicio más amplio? Tenga en cuenta que, en general, con $n$ variables, la desigualdad de Muirhead tiene n! términos en cada lado. Así que 5 variables significan 240 términos, 6 variables significan 1680 términos, ¿no preferirías usar la forma de media línea de la misma?

En realidad hay pocas desigualdades que utilicen la notación cíclica. Y aunque las cíclicas suelen tener muchos menos términos que las simétricas, siguen siendo mucho más sencillas de utilizar en su forma abreviada.

Answer 3

Este tipo de suma se puede utilizar en las desigualdades.

Un ejemplo de suma cíclica es:

$$\sum_{a,b,c}{\frac{a^3}{3}}=\frac{a^3}{3}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{3}\geq \sqrt[3]{\frac{(abc)^3}{3^3}}=\frac{abc}{3}.$$

Este es un ejemplo sencillo, pero puedes encontrar muchos en los ejercicios de desigualdad.

Answer 4

Si tratas de escribir $$\sqrt{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}$$ sería $$\sqrt{\sum\limits_{a, b, c}a^2b^2}?$$ (Lo siento, las sumas cíclicas son algo nuevo para mí)