Deje $(S,\mathcal B)$ ser un espacio métrico compacto con el Borel-$\sigma$-Álgebra. Deje $\mathcal M$ ser el espacio de firmado Borel medidas y $\mathcal P \subset \mathcal M$ el conjunto de medidas de probabilidad en $(S,\mathcal B)$.
Ahora decimos que una secuencia de medidas de $(\mu_n)_{n\in\mathbb N}$ $\mu_n\in \mathcal M$ por cada $n$ converge en la débil*-topología de una medida $\mu \in \mathcal M$ si
(I) $\int fd\mu_n\overset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}\int f d\mu$ por cada countinuous y delimitada la función $f$ $S$ $\mathbb R$que se desvanece en el infinito
(desde $S$ es compacto, no hay unbounded continua $f$ de todos modos, y también "de fuga en el infinito" no tiene ningún significado, por lo tanto, esta convergencia coincide con la debilidad de la convergencia de las medidas).
Sé que para los no-localmente compacto conjuntos de $S$ $\mathcal P$ no está cerrado en esta topología. Pero varias veces me tropecé con la restricción de no-localmente compacto que hace que me pregunte cómo mostrar closedness de $\mathcal P$ en el caso compacto, es decir,
Pregunta: ¿por Qué no puede haber un $\mu \in \mathcal M\setminus\mathcal P$ y una secuencia de probabilidad medidas de $(\mu_n)_{n\in\mathbb N}$ tales que (I) se mantiene?
Lo que he intentado:
Si $\mu\not\in\mathcal P$ entonces $\mu(S)\neq1$ o hay un conjunto $A\in\mathcal B$ tal que $\mu(A)<0$. En el primer caso, elija $f\equiv1$ y ver que (I) no puede ser cierto.
En este último caso creo que tiene que haber algún conjunto abierto $U$ tal que $\mu(U)<0$ y, a continuación, puedo tomar una función $f$ que es estrictamente positiva en $U$ y cero en otro lugar, entonces (I) no poseer, ya sea a la izquierda sería igual a cero o mayor y el lado derecho negativo). Pero no sé si realmente tiene que ser un conjunto de $U$.
Ya le pedí una pregunta acerca de la existencia de dicho conjunto (la Obtención de la medida de un conjunto a partir de un límite de medidas de abrir conjuntos), pero mi enfoque no funciona.
