Demostrar que:
$$a^2+b^2+c^2 \leq a^2b+b^2c+c^2a+1, (\forall) a,b,c \in [0,1].$$
No tengo ni idea, trato de $AM\geq GM$ pero todavía nada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Observe que la igualdad caso es que cuando una variable es $1$ y los otros dos se $0$. Así, un "equilibrada" la desigualdad como $AM \geq GM$ es poco probable que funcione, y sería mejor intentar un enfoque diferente. Esta desigualdad, en particular, se rompe una de Jensen/suavizado/convexidad-tipo de enfoque.
Primero de todo, reorganizar la desigualdad a $a^2+b^2+c^2-a^2b-b^2c-c^2a \leq 1$.
Ahora, observe que la función de $a^2+b^2+c^2-a^2b-b^2c-c^2a$ es convexa cuando se $a,b,c \in [0,1]$. Usted puede probar esto de usar fácil de álgebra, o por darse cuenta de que la segunda derivada con respecto a cualquiera de las tres variables es positivo siempre que $a,b,c \in [0,1]$.
Cualquier función convexa sobre algunos región alcanza su máximo en el límite de la región. Por lo tanto, es suficiente para comprobar el límite del dominio de la desigualdad, $a,b,c \in [0,1]$. El límite está donde una de las variables es igual a $1$ o $0$.
En el primer caso, una de las variables, WLOG $a$$1$. Entonces la desigualdad es fácil: se simplifica a $b^2-b-b^2c \leq 0$, lo cual es cierto porque $b^2 \leq b$.
En el segundo caso, cuando una de las variables, WLOG $a$$0$, la desigualdad también es fácil: se simplifica a $b^2+c^2-b^2c-1 \leq 0$, lo cual es cierto porque $b^2+c^2-b^2c-1 \leq b^2+c^2-b^2c^2-1 = -(1-b^2)(1-c^2) \leq 0$.
Hemos demostrado que la desigualdad se cumple en la frontera del dominio. Por lo tanto, por la lógica anterior, se sostiene en todas partes, y hemos terminado.
