Ayudar a resolver $\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\zeta(2s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s-2)} \frac{x^{s}}{s} dz $

Question

Necesito ayuda en la evaluación de la integral de contorno siguiente:

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\zeta(2s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s-2)} \frac{x^{s}}{s} ds $ $ Se parece a una versión compleja de la función de Mertens: $$ \frac{1}{2\pi i} \int_ {c-i\infty} ^ {c + i\infty} \frac1{\zeta(s)} \frac{x^{s}}{s} \, ds = M(x) $$ pero no tengo las habilidades para resolverlo...

Answer 1

La serie de Dirichlet $$ \frac{\zeta(2s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s-2)}$$ no es complicado que la versión de $\zeta(s)^{-1}$, y ha aritmética significado. Los coeficientes de la Dirichlet de la serie incluyen los números primos cuyos poderes han de paridad impar.

Su contorno integral es un proceso inverso a Mellin Transformación, una forma de Laplace/transformada de Fourier. Esta pregunta es realmente pidiendo el uso de la Escalinata de la Fórmula para entender la Dirichlet de la serie anterior.

Es relativamente sencillo obtener una estimación deficiente, y extremadamente duro (para ser leídos, imposible por el momento) para obtener una buena estimación. Pero vamos a ver lo que podemos decir. Consideramos

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{(c)} \frac{\zeta(2s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s-2)} \frac{X^{s}}{s} ds,$$ donde inicialmente $c > 10$ está en la región de absoluta convergencia de la Dirichlet de la serie. La primera pregunta que uno debe preguntarse es: ¿dónde están los polos de este objeto?

El numerador tiene polos en$s = 2$$s = \frac{1}{2}$. El denominador contribuye pol $s = 0$ (a los que nos entendamos) y en $2s - 2 = \rho$ donde $\rho$ es un cero de la función zeta. La reescritura, estos son en $s = 1 + \frac{\rho}{2}$. Con la comprensión actual de los ceros de la función zeta, sólo sabemos que estos polos tienen parte real menor que $\frac{3}{2}$. Si asumimos la Hipótesis de Riemann, entonces estos postes tienen parte real $\frac{5}{4}$.

No hay ninguna esperanza de salir de la línea de la integración pasado los polacos procedentes de los ceros de la función zeta, ya que hay demasiados y no tenemos mucho decaimiento.

Vamos a cambiar la línea de la integración a $c = \frac{3}{2} + \delta$ $\delta$ a se especifica más adelante. Tomamos un polo en $s = 2$ con residuos $$\operatorname{Res}_{s = 2} \frac{\zeta(2s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s-2)} \frac{x^{s}}{s} = \frac{\zeta(4)}{\zeta(2)} \frac{X^2}{2}.$$

A medida que pasa no hay polos adicionales, podemos ahora preguntarnos acerca de la convergencia de la integral en $\sigma = \frac{3}{2} + \delta$.

1. El $\zeta(2s)$ en el numerador converge absolutamente, y no contribuir.
2. El $\zeta(s-1)$ es en parte real $\frac{1}{2} + \delta$. Deje $s = \sigma + it$. A continuación, a la altura de la $t$, podemos enlazado $\zeta(s-1)$ aproximadamente $\lvert t \rvert^{\frac{1}{4} - \frac{\delta}{2}}$ utilizando el Phragmen-Lindelof Principio (una especie de máxima módulo principio se aplica a las tiras verticales). Vale la pena señalar que si usamos el Lindelof Hipótesis, entonces no hay crecimiento.
3. El $\zeta(2s - 2)$ en el denominador converge absolutamente, como estamos deliberadamente alejarse de su crítica de la tira. No contribuye.
4. El $\frac{1}{s}$ contribuye con el crecimiento que se parece a $\lvert t \rvert^{-1}$.
5. El $X^s$ puede estar delimitado por $X^{\frac{1}{2} + \delta}$, aunque el $X^{it}$ es importante y vamos a volver a esto en un momento.

En total, las estimaciones iniciales indican que el pasado integral parece $$ X^{\frac{1}{2} + \delta} \lim_{T \to \infty} \int_{\sigma - iT}^{\sigma + iT} \lvert t \rvert^{-\frac{3}{4} - \frac{\delta}{2}} dt.$$ Esto converge al $\delta > \frac{1}{2}$... lo que corresponde a nosotros no se mueve de la línea de la integración pasado $2$ a todos. Eso es muy malo.

Obtener algo mejor requiere mucho más trabajo. Pero puedo decirte lo que debería ser posible, si uno tuviera que poner un montón de trabajo.

Suponiendo que el Lindelof Hipótesis pone la integral a la derecha en el borde de convergencia absoluta. De forma heurística, cualquier cantidad de oscilación debe hacer la integral converge. No es exactamente una fuente de oscilación, que es el $X^{it}$ parte que se pierde cuando tomamos valores absolutos. Es muy probable que esta oscilación, si se mide y aproxima correctamente, realmente hace que la integral converge. [De hecho, es casi seguro].

Esto llevaría a la siguiente estimación. Denotar su Dirichlet de la serie por $$ \frac{\zeta(2s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s - 2)} = \sum_{n \geq 1} \frac{a(n)}{n^s}.$$ Esto nos demuestra que $$ \sum_{n \leq X} a(n) = \frac{\zeta(4)}{2\zeta(2)} X^2 + O(X^{3/2}).$$

También debo mencionar que uno puede utilizar Mellin Transforma con mayor convergencia para dar un poco más débiles resultados, pero que son más sostenible. Por ejemplo, sin hacer ningún handwaving, oen puede utilizar los relacionados con Mellin Transformar $$\frac{1}{2\pi i}\int_{(c)} \frac{\zeta(2s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s-2)} \frac{X^{s}}{s(s+1)} ds$$ y lo mismo de vuelta-de-la-envoltura de los cálculos anteriores para mostrar que $$ \sum_{n \leq X} a(n)(1 - \frac{n}{X}) = \frac{\zeta(4)}{6\zeta(2)} X^2 + O(X^{3/2}).$$ Esta transformación y el peso resultante es a veces llamado un Césaro ponderado de transformación. Aunque no he podido encontrar una fuente de enlace, sé que estas aparecen en Murty Problemas para la Teoría Analítica de números, así como muchos de los clásicos de la teoría analítica de números papeles.