Ejemplos de técnicas algebraicas de geometría algebraica para resolver problemas geométricos.

Question

Clásicos de la geometría algebraica comienza por la interpretación de las soluciones de ecuaciones polinómicas como objetos geométricos. Las soluciones puede ser estudiado geométricamente, y una correspondencia entre el álgebra y la geometría se ha establecido. A través de esta correspondencia, propiedades geométricas, a veces puede ser derivado de manera algebraica.

En este caso, sin embargo, se define un objeto geométrico a partir de una expresión algebraica objeto. Mi pregunta es, ¿cuáles son algunos de los ejemplos donde la algebraicas lado de la geometría algebraica puede ser aplicado a entender los objetos geométricos, los cuales no están definidos a priori basados en algunos algebraicas objeto? Me imagino, por ejemplo, que hay objetos geométricos que resultó ser algebraicas variedades aunque originalmente fueron motivados alguna otra manera. Una más que interesante ejemplo podría ser el de un objeto geométrico que no es una variedad algebraica, pero donde las técnicas algebraicas a partir de la geometría algebraica todavía puede ser aplicado.

Answer 1

No es el papel en el "periódico de puntos" por Artin y Mazur, en el que demuestran que si $M$ es un cerrado suave colector entonces existe un subespacio denso de un espacio de $C^k$ mapas de $M$ a tal que para cada miembro de la $f$ de este subespacio denso, existe una constante positiva $c$, que el número de aislados periódico puntos de $f$ del período $n$ está delimitado por $c^n$.

Así que este es un resultado en los sistemas dinámicos, pero el argumento es a través de métodos de topología algebraica (y utiliza ideas de Nash que permiten aproximar arbitrariamente el colector de una variedad algebraica).

Tenga en cuenta también que la declaración (y la idea de que la geometría algebraica podría tener algo que decir acerca de la dinámica) está motivado en parte por la siguiente analógica sobre un campo finito: si $V$ $d$- dimensiones variedad, más de un campo finito $\mathbb F_q$, e $f:V \to V$ es el Frobenius (es decir, el de "elevar a la $q$th mapa de poder"), entonces el número de puntos fijos de $f^q$ $V(\overline{\mathbb F}_q)$ está delimitado por alguna constante positiva veces $q^{dn}$.