¿Por qué las hipérbolas están definidas por dos ramas?

Question

¿Por qué las hipérbolas están definidas por dos ramas, a diferencia de las parábolas que sólo tienen una? Geométricamente, parece un corte. Cuando se representa en una gráfica, son dos curvas separadas. ¿Por qué?

Nunca nos enseñaron sobre secciones cónicas en la escuela secundaria, así que cuando vi esta imagen Tenía curiosidad. Entiendo que una parábola es el resultado de una intersección plana hecha paralela al borde del cono, pero no veo cómo hacer el plano casi paralelo al eje hace que se divida en dos ramas, ni cómo se corresponden con la geometría.

He leído la página de PurpleMath pero era más bien desde el punto de vista de la ecuación. Esta tabla en Wikipedia parece mostrarlo como una "elipse inversa", lo que parece hacer que las hipérbolas tengan más en común con las elipses que con las parábolas.

Answer 1

En primer lugar, quiero mencionar un experimento que puedes probar tú mismo. Si coges una linterna, el haz de luz que sale del extremo es aproximadamente cónico, y puedes proyectar el haz sobre una pared u otra superficie. Comprueba qué condiciones son necesarias para obtener un círculo, una elipse, una parábola y una hipérbola. La siguiente parte del experimento es un poco exagerada, pero imagina que toda la luz que sale de tu linterna ha estado viajando en línea recta durante todo el tiempo Incluso antes de la luz salió de la linterna (puede ayudar pensar en la luz viajando hacia atrás en el tiempo para esto). Círculos, elipses y parábolas son lo que obtienes cuando esa luz no entró en contacto con la superficie en el pasado, y una hipérbola es cuando este rayo hacia atrás lo hizo.

Una forma de pensar en las secciones cónicas es mediante la geometría proyectiva, y una forma de pensar en la geometría proyectiva es imaginando una fuente de luz puntual que emite luz en todas las direcciones con una esfera a su alrededor que bloquea la luz en un determinado patrón. La regla para esta esfera es que si deja salir la luz en algún punto, debe dejar salir la luz en el punto exactamente opuesto, y viceversa. Interactuamos con este artilugio colocando una pantalla cerca de la luz y viendo los patrones que se proyectan en la pantalla, y el lugar donde se coloca esta pantalla es arbitrario. Si queremos proyectar una línea en la pantalla, queremos que haya un gran círculo en la esfera que deje pasar la luz, y los grandes círculos siempre proyectan líneas (siempre que cualquier luz del círculo se encuentre con la pantalla, pero siempre se puede mover la pantalla para ver algo de luz). Esta es la razón de la regla de los dos lados: si parece una línea infinitamente larga desde alguna perspectiva, más vale que parezca una línea infinitamente larga desde todas las perspectivas.

¿Qué proyecta un círculo? Un círculo no grande en la esfera lo hace. ¿Qué aspecto tiene el patrón de luz que irradia la esfera? Un doble cono. ¿Qué se obtiene después de mover la pantalla? Círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Una parábola es un círculo reproyectado de manera que un punto está infinitamente lejos. Una hipérbola es un círculo reproyectado de manera que dos puntos están infinitamente lejos, siendo las dos ramas las dos mitades del círculo.