¿Cómo es

Question

Yo vi en un cuaderno las siguientes: $2^{\log_4 n}= n^{\log _42}(=\sqrt n)$, pero nunca he visto esto antes y no la puedo encontrar en cualquier registro de reglas, es correcto? y si es así, ¿cómo lo hacen?

Por CIERTO, si tomamos $\log_2$ de ambos lados, se obtiene: $${\log_4 n} = {\log _42}\log_2 n= \frac 1 2 \log_2 n$$ lo que hace que ambos lados se ven incluso más diferentes.

EDIT: OK, no importa. He encontrado que la regla: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logarithmic_identities

Es curioso que no lo mencionan en todas partes...

Answer 1

Tomar el logaritmo en base $4$:\begin{align} &\mathrm{(LHS)} & \log_4(2^{\log_4n})=(\log_4n)(\log_42) \\ &\mathrm{(RHS)} & \log_4(n^{\log_42})=(\log_42)(\log_4n) \end {Alinee el} ya que los logaritmos son iguales, los números son iguales.

Answer 2

Aviso, el estado de registro: $\color{red}{\log_{a^n}(b)=\frac 1n\log_a(b)}$ por lo tanto, simplificando LHS y RHS como sigue

$$LHS=2^{\log_4n}=2^{\log_{2^2}n}=2^{\frac{1}{2}\log_2n}=2^{\log_2n^{1/2}}=n^{1/2}=\color{blue}{\sqrt n}$$ $$RHS=n^{\log_42}=n^{\log_{2^2}2}=n^{\frac{1}{2}\log_22}=n^{\frac 12}=\color{blue}{\sqrt n}$$

Answer 3

Sugerencia: Tratar de escribir $ de $$2^{\log_4 n}$ $$\bigg(4^{\frac{1}{2}}\bigg)^{\log_4 n}$ $

Answer 4

No son diferentes. $\log_4(2)=\frac12$ porque $4^{1/2}=2$.

Answer 5

La izquierda es equivalente a $$2^{\frac{log(n)}{log(4)}}$ $ y el lado derecho es equivalente a $$n^{\frac{log(2)}{log(4)}}$ $

La ecuación por lo tanto, es cierto, cuando $2^{log(n)}=n^{log(2)}$

Logarithming ambos lados da $log(n)log(2)=log(2)log(n)$, por lo que la ecuación dada es verdad. Por $\frac{log(2)}{log(4)}=\frac{1}{2}$, el resultado es $\sqrt{n}$ en ambos casos.