La noción de números complejos

Question

¿Cómo hace uno para saber la noción de los números reales es compatible con los axiomas definidos para los números complejos, es decir, ¿cómo se hace saber que mediante la definición de un operador "$i$ ' con la propiedad de que $i^2=-1$, no le de alguna manera contradicen algunos declaración de que es un resultado de los números reales.

Por ejemplo, si definimos un operador de x con la propiedad de que $x^{2n}=-1$, e $x^{2n+1}=1$, para todos los enteros n, este operador no es consistente cuando se utiliza de forma compatible con las propiedades de los números reales, ya que me gustaría tener $x^2=-1$, $x^3=1$, por lo tanto $x^5=-1$, pero he definido $x^5$ a de ser igual a 1.

¿Cómo sé que yo no encuentro dicha contradicción basado apon los axiomas de los números complejos.

Answer 1

El uso de los números reales $\mathbb R$, se pueden construir nuevos objetos de diversas formas y, a continuación, mostrar que estas nuevas estructuras se extienden $\mathbb R$ colindando un nuevo elemento $i$ satisfacción $i^2=-1$, mientras que la preservación de la de campo axiomas.

Este es un caso especial del general de extensión de las construcciones y se puede hacer de muchas maneras. Estas formas dependen de la existencia de un modelo para los números reales. Usted podría preguntarse, ¿cómo saber el real en los números de existir y la respuesta es que estos también pueden ser construidos a partir de cosas simples, todo el camino hacia abajo a la existencia de conjuntos (que no puede ser comprobado).

En algo más de detalle, asumiendo $\mathbb R$ es tu modelo favorita de los números reales se puede construir a $\mathbb C$ muy directamente por considerar $\mathbb R \times \mathbb R$ (cuya existencia requiere una ligera conjunto teórico truco) y, a continuación, definir la suma y la multiplicación de la siguiente manera: $(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)$$(a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)$. Uno puede entonces verificar que los axiomas de un campo están satisfechos, que $i=(0,1)$ satisface $i^2=-1$ etc. Esta es una tarea larga pero totalmente sencillo de verificación.

Otra posibilidad es utilizar un anillo de teoría y considerar el factor de anillo de $\mathbb R[X]/(X^2+1)$. Se desprende de algunas anillo básico de la teoría de que este cociente es un campo con las propiedades deseadas.

Answer 2

Tenga en cuenta que, cuando generaliza de números verdaderos a números complejos, hemos perdido algunas propiedades. Por ejemplo, la propiedad de la orden. Ver aquí.

Answer 3

Porque, en realidad, utilizar el álgebra de polinomios. Deje $\mathbb R[X]$ el valor de todos los polinomios sobre los números reales. Deje $f(X)=X^2+1$. A continuación, este polinomio es irreducible y de la teoría sabemos que desde $\mathbb R$ es un campo, el factor de espacio $\mathbb R[X]/f$ es un campo así. Y es en ese campo donde $X^2+1=0$. Esto significa que así $$X^3=X^3-X\cdot 0=X^3-X(X^2+1)=X^3-X^3-X=-X.$$

Todo tipo de cálculos, ya que están en $\mathbb R[X]/f$, lo que significa que podemos reescribir $0$ $f(X)$ y viceversa. En la final, de cada polinomio podemos reducir a un polinomio de grado uno.

Observe que la identidad de $X^2+1=0$ es exactamente la identidad que "define" los números complejos. Sólo usted no escribe los miembros como polynomils $Z(X)=bX+a$, pero como los números de $z=a+bi$. La identidad anterior $X^3=-X$ a continuación, se lee como $i^3=-i$, lo cual es cierto.s

Answer 4

Un campo es una generalización del sistema numérico real. Para una estructura de un campo, se debe cumplir el campo axiomas (http://en.wikipedia.org/wiki/Field_%28mathematics%29).

Es bastante fácil ver que los números complejos son, en efecto, un campo. Demostrando que no hay una paradoja escondido en el complejo de la teoría de números es más difícil. Lo que se puede probar es este:

Si la teoría de números (números naturales) es consistente, también lo es el número complejo sistema. El principal problema es que no se puede probar la consistencia de una teoría sin usar una mejor teoría. Y luego tienes el problema de la prueba de que el más fuerte de la teoría es consistente, ad infinitum.